Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65109 / 44121
↖ ↑ ↗
← N 50.581493°
W  1.172791°		 ← 193.94 m → N 50.581493°
W  1.170044°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
N 50.579749°
W  1.172791°		 ← 193.95 m →
37 612 m²		 N 50.579749°
W  1.170044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496746063232422 y=0.336620330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496746063232422 × 217)
    floor (0.496746063232422 × 131072)
    floor (65109.5)     		tx = 65109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336620330810547 × 217)
    floor (0.336620330810547 × 131072)
    floor (44121.5)     		ty = 44121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65109 / 44121 ti = "17/65109/44121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65109/44121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65109 ÷ 217
    65109 ÷ 131072     		x = 0.496742248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44121 ÷ 217
    44121 ÷ 131072     		y = 0.336616516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496742248535156 × 2 - 1) × π
    -0.0065155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02046906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336616516113281 × 2 - 1) × π
    0.326766967773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0265687053635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02046906} λ = -0.02046906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0265687053635))-π/2
    2×atan(2.79147102325046)-π/2
    2×1.22680495680351-π/2
    2.45360991360703-1.57079632675     		φ = 0.88281359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02046906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.172791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88281359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.581493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65109 KachelY 44121 -0.02046906 0.88281359 -1.172791 50.581493
    Oben rechts KachelX + 1 65110 KachelY 44121 -0.02042112 0.88281359 -1.170044 50.581493
    Unten links KachelX 65109 KachelY + 1 44122 -0.02046906 0.88278315 -1.172791 50.579749
    Unten rechts KachelX + 1 65110 KachelY + 1 44122 -0.02042112 0.88278315 -1.170044 50.579749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88281359-0.88278315) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dl = 193.933240000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88281359-0.88278315) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dr = 193.933240000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02046906--0.02042112) × cos(0.88281359) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.634980081922899 × 6371000     		do = 193.939261406561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02046906--0.02042112) × cos(0.88278315) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		du = 193.946443637485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88281359)-sin(0.88278315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634980081922899-0.635003597396493)×R²
    abs(-0.02042112--0.02046906)×2.35154735934717e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.35154735934717e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.35154735934717e-05×40589641000000     		ar = 37611.9657673631m²