Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65106 / 48336
↖ ↑ ↗
← N 42.650122°
W  1.181030°		 ← 224.64 m → N 42.650122°
W  1.178284°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
N 42.648101°
W  1.181030°		 ← 224.65 m →
50 465 m²		 N 42.648101°
W  1.178284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496723175048828 y=0.368778228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496723175048828 × 217)
    floor (0.496723175048828 × 131072)
    floor (65106.5)     		tx = 65106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368778228759766 × 217)
    floor (0.368778228759766 × 131072)
    floor (48336.5)     		ty = 48336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65106 / 48336 ti = "17/65106/48336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65106/48336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65106 ÷ 217
    65106 ÷ 131072     		x = 0.496719360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48336 ÷ 217
    48336 ÷ 131072     		y = 0.3687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496719360351562 × 2 - 1) × π
    -0.006561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02061287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3687744140625 × 2 - 1) × π
    0.262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02061287} λ = -0.02061287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824514673464966))-π/2
    2×atan(2.28077357673984)-π/2
    2×1.15759068940147-π/2
    2.31518137880294-1.57079632675     		φ = 0.74438505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02061287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.181030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74438505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.650122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65106 KachelY 48336 -0.02061287 0.74438505 -1.181030 42.650122
    Oben rechts KachelX + 1 65107 KachelY 48336 -0.02056493 0.74438505 -1.178284 42.650122
    Unten links KachelX 65106 KachelY + 1 48337 -0.02061287 0.74434979 -1.181030 42.648101
    Unten rechts KachelX + 1 65107 KachelY + 1 48337 -0.02056493 0.74434979 -1.178284 42.648101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74438505-0.74434979) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74438505-0.74434979) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02061287--0.02056493) × cos(0.74438505) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.7355046821282 × 6371000     		do = 224.642061812469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02061287--0.02056493) × cos(0.74434979) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735528571013487 × 6371000     		du = 224.649358092936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74438505)-sin(0.74434979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7355046821282-0.735528571013487)×R²
    abs(-0.02056493--0.02061287)×2.38888852864827e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38888852864827e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38888852864827e-05×40589641000000     		ar = 50464.7402716469m²