Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65104 / 48337
↖ ↑ ↗
← N 42.648101°
W  1.186523°		 ← 224.65 m → N 42.648101°
W  1.183777°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
N 42.646081°
W  1.186523°		 ← 224.66 m →
50 466 m²		 N 42.646081°
W  1.183777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496707916259766 y=0.368785858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496707916259766 × 217)
    floor (0.496707916259766 × 131072)
    floor (65104.5)     		tx = 65104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368785858154297 × 217)
    floor (0.368785858154297 × 131072)
    floor (48337.5)     		ty = 48337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65104 / 48337 ti = "17/65104/48337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65104/48337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65104 ÷ 217
    65104 ÷ 131072     		x = 0.4967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48337 ÷ 217
    48337 ÷ 131072     		y = 0.368782043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02070874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368782043457031 × 2 - 1) × π
    0.262435913085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.824466736565346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02070874} λ = -0.02070874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824466736565346))-π/2
    2×atan(2.28066424614634)-π/2
    2×1.15757306020817-π/2
    2.31514612041633-1.57079632675     		φ = 0.74434979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02070874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74434979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.648101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65104 KachelY 48337 -0.02070874 0.74434979 -1.186523 42.648101
    Oben rechts KachelX + 1 65105 KachelY 48337 -0.02066080 0.74434979 -1.183777 42.648101
    Unten links KachelX 65104 KachelY + 1 48338 -0.02070874 0.74431453 -1.186523 42.646081
    Unten rechts KachelX + 1 65105 KachelY + 1 48338 -0.02066080 0.74431453 -1.183777 42.646081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74434979-0.74431453) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74434979-0.74431453) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02070874--0.02066080) × cos(0.74434979) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735528571013487 × 6371000     		do = 224.649358092936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02070874--0.02066080) × cos(0.74431453) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735552458984314 × 6371000     		du = 224.656654094103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74434979)-sin(0.74431453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735528571013487-0.735552458984314)×R²
    abs(-0.02066080--0.02070874)×2.38879708275297e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38879708275297e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38879708275297e-05×40589641000000     		ar = 50466.3792874296m²