Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65103 / 47655
↖ ↑ ↗
← N 44.010596°
W  1.189270°		 ← 219.67 m → N 44.010596°
W  1.186523°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
N 44.008620°
W  1.189270°		 ← 219.67 m →
48 255 m²		 N 44.008620°
W  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496700286865234 y=0.363582611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496700286865234 × 217)
    floor (0.496700286865234 × 131072)
    floor (65103.5)     		tx = 65103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363582611083984 × 217)
    floor (0.363582611083984 × 131072)
    floor (47655.5)     		ty = 47655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65103 / 47655 ti = "17/65103/47655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65103/47655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65103 ÷ 217
    65103 ÷ 131072     		x = 0.496696472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47655 ÷ 217
    47655 ÷ 131072     		y = 0.363578796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496696472167969 × 2 - 1) × π
    -0.0066070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02075668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363578796386719 × 2 - 1) × π
    0.272842407226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.857159702106224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02075668} λ = -0.02075668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857159702106224))-π/2
    2×atan(2.35645813650032)-π/2
    2×1.16946306219301-π/2
    2.33892612438602-1.57079632675     		φ = 0.76812980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02075668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.189270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76812980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.010596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65103 KachelY 47655 -0.02075668 0.76812980 -1.189270 44.010596
    Oben rechts KachelX + 1 65104 KachelY 47655 -0.02070874 0.76812980 -1.186523 44.010596
    Unten links KachelX 65103 KachelY + 1 47656 -0.02075668 0.76809532 -1.189270 44.008620
    Unten rechts KachelX + 1 65104 KachelY + 1 47656 -0.02070874 0.76809532 -1.186523 44.008620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76812980-0.76809532) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dl = 219.672079999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76812980-0.76809532) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dr = 219.672079999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02075668--0.02070874) × cos(0.76812980) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719211325476229 × 6371000     		do = 219.665651299957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02075668--0.02070874) × cos(0.76809532) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71923528145567 × 6371000     		du = 219.672968072705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76812980)-sin(0.76809532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719211325476229-0.71923528145567)×R²
    abs(-0.02070874--0.02075668)×2.39559794412703e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39559794412703e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39559794412703e-05×40589641000000     		ar = 48255.2141756193m²