Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65100 / 47652
↖ ↑ ↗
← N 44.016521°
W  1.197510°		 ← 219.64 m → N 44.016521°
W  1.194763°		 →
↑
219.61 m
↓
↑
219.61 m
↓
N 44.014546°
W  1.197510°		 ← 219.65 m →
48 236 m²		 N 44.014546°
W  1.194763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496677398681641 y=0.363559722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496677398681641 × 217)
    floor (0.496677398681641 × 131072)
    floor (65100.5)     		tx = 65100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363559722900391 × 217)
    floor (0.363559722900391 × 131072)
    floor (47652.5)     		ty = 47652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65100 / 47652 ti = "17/65100/47652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65100/47652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65100 ÷ 217
    65100 ÷ 131072     		x = 0.496673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47652 ÷ 217
    47652 ÷ 131072     		y = 0.363555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.00665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02090049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363555908203125 × 2 - 1) × π
    0.27288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.857303512805084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02090049} λ = -0.02090049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857303512805084))-π/2
    2×atan(2.3567970447605)-π/2
    2×1.16951477475115-π/2
    2.3390295495023-1.57079632675     		φ = 0.76823322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02090049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.197510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76823322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.016521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65100 KachelY 47652 -0.02090049 0.76823322 -1.197510 44.016521
    Oben rechts KachelX + 1 65101 KachelY 47652 -0.02085255 0.76823322 -1.194763 44.016521
    Unten links KachelX 65100 KachelY + 1 47653 -0.02090049 0.76819875 -1.197510 44.014546
    Unten rechts KachelX + 1 65101 KachelY + 1 47653 -0.02085255 0.76819875 -1.194763 44.014546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76823322-0.76819875) × R
    3.44700000000087e-05 × 6371000     		dl = 219.608370000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76823322-0.76819875) × R
    3.44700000000087e-05 × 6371000     		dr = 219.608370000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02090049--0.02085255) × cos(0.76823322) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71913946630504 × 6371000     		do = 219.643703659421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02090049--0.02085255) × cos(0.76819875) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719163417900637 × 6371000     		du = 219.65101909323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76823322)-sin(0.76819875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71913946630504-0.719163417900637)×R²
    abs(-0.02085255--0.02090049)×2.39515955974268e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39515955974268e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39515955974268e-05×40589641000000     		ar = 48236.3990114663m²