Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 651 / 663
↖ ↑ ↗
← S 46.800060°
E 48.867188°		 ← 26.760 km → S 46.800060°
E 49.218750°		 →
↑
26.700 km
↓
↑
26.700 km
↓
S 47.040182°
E 48.867188°		 ← 26.641 km →
712.913 km²		 S 47.040182°
E 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63623046875 y=0.64794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63623046875 × 210)
    floor (0.63623046875 × 1024)
    floor (651.5)     		tx = 651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64794921875 × 210)
    floor (0.64794921875 × 1024)
    floor (663.5)     		ty = 663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 651 / 663 ti = "10/651/663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/651/663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 651 ÷ 210
    651 ÷ 1024     		x = 0.6357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 663 ÷ 210
    663 ÷ 1024     		y = 0.6474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6357421875 × 2 - 1) × π
    0.271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85289332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6474609375 × 2 - 1) × π
    -0.294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.926524395856445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85289332} λ = 0.85289332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926524395856445))-π/2
    2×atan(0.395927408715215)-π/2
    2×0.376990599668755-π/2
    0.75398119933751-1.57079632675     		φ = -0.81681513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85289332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.867188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81681513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.800060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 651 KachelY 663 0.85289332 -0.81681513 48.867188 -46.800060
    Oben rechts KachelX + 1 652 KachelY 663 0.85902924 -0.81681513 49.218750 -46.800060
    Unten links KachelX 651 KachelY + 1 664 0.85289332 -0.82100606 48.867188 -47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 652 KachelY + 1 664 0.85902924 -0.82100606 49.218750 -47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81681513--0.82100606) × R
    0.00419093000000004 × 6371000     		dl = 26700.4150300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81681513--0.82100606) × R
    0.00419093000000004 × 6371000     		dr = 26700.4150300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85289332-0.85902924) × cos(-0.81681513) × R
    0.00613592000000007 × 0.684546347752357 × 6371000     		do = 26760.2490798875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85289332-0.85902924) × cos(-0.82100606) × R
    0.00613592000000007 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 26640.5862017981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81681513)-sin(-0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684546347752357-0.681485285580883)×R²
    abs(0.85902924-0.85289332)×0.00306106217147428×R²
    0.00613592000000007×0.00306106217147428×6371000²
    0.00613592000000007×0.00306106217147428×40589641000000     		ar = 712913275.946263m²