Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65099 / 47654
↖ ↑ ↗
← N 44.012571°
W  1.200257°		 ← 219.66 m → N 44.012571°
W  1.197510°		 →
↑
219.61 m
↓
↑
219.61 m
↓
N 44.010596°
W  1.200257°		 ← 219.67 m →
48 240 m²		 N 44.010596°
W  1.197510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496669769287109 y=0.363574981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496669769287109 × 217)
    floor (0.496669769287109 × 131072)
    floor (65099.5)     		tx = 65099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363574981689453 × 217)
    floor (0.363574981689453 × 131072)
    floor (47654.5)     		ty = 47654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65099 / 47654 ti = "17/65099/47654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65099/47654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65099 ÷ 217
    65099 ÷ 131072     		x = 0.496665954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47654 ÷ 217
    47654 ÷ 131072     		y = 0.363571166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496665954589844 × 2 - 1) × π
    -0.0066680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02094843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363571166992188 × 2 - 1) × π
    0.272857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.857207639005844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02094843} λ = -0.02094843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857207639005844))-π/2
    2×atan(2.35657110050502)-π/2
    2×1.16948030028654-π/2
    2.33896060057307-1.57079632675     		φ = 0.76816427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02094843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.200257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76816427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.012571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65099 KachelY 47654 -0.02094843 0.76816427 -1.200257 44.012571
    Oben rechts KachelX + 1 65100 KachelY 47654 -0.02090049 0.76816427 -1.197510 44.012571
    Unten links KachelX 65099 KachelY + 1 47655 -0.02094843 0.76812980 -1.200257 44.010596
    Unten rechts KachelX + 1 65100 KachelY + 1 47655 -0.02090049 0.76812980 -1.197510 44.010596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76816427-0.76812980) × R
    3.44700000000087e-05 × 6371000     		dl = 219.608370000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76816427-0.76812980) × R
    3.44700000000087e-05 × 6371000     		dr = 219.608370000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02094843--0.02090049) × cos(0.76816427) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.7191873755899 × 6371000     		do = 219.658336388202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02094843--0.02090049) × cos(0.76812980) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719211325476229 × 6371000     		du = 219.665651299957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76816427)-sin(0.76812980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7191873755899-0.719211325476229)×R²
    abs(-0.02090049--0.02094843)×2.39498863285892e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39498863285892e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39498863285892e-05×40589641000000     		ar = 48239.6124240351m²