Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65096 / 44837
↖ ↑ ↗
← N 49.316171°
W  1.208496°		 ← 199.10 m → N 49.316171°
W  1.205750°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
N 49.314380°
W  1.208496°		 ← 199.11 m →
39 641 m²		 N 49.314380°
W  1.205750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496646881103516 y=0.342082977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496646881103516 × 217)
    floor (0.496646881103516 × 131072)
    floor (65096.5)     		tx = 65096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342082977294922 × 217)
    floor (0.342082977294922 × 131072)
    floor (44837.5)     		ty = 44837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65096 / 44837 ti = "17/65096/44837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65096/44837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65096 ÷ 217
    65096 ÷ 131072     		x = 0.49664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44837 ÷ 217
    44837 ÷ 131072     		y = 0.342079162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02109224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342079162597656 × 2 - 1) × π
    0.315841674804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.992245885235542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02109224} λ = -0.02109224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992245885235542))-π/2
    2×atan(2.69728546849411)-π/2
    2×1.21576293853973-π/2
    2.43152587707945-1.57079632675     		φ = 0.86072955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02109224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.208496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86072955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.316171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65096 KachelY 44837 -0.02109224 0.86072955 -1.208496 49.316171
    Oben rechts KachelX + 1 65097 KachelY 44837 -0.02104430 0.86072955 -1.205750 49.316171
    Unten links KachelX 65096 KachelY + 1 44838 -0.02109224 0.86069830 -1.208496 49.314380
    Unten rechts KachelX + 1 65097 KachelY + 1 44838 -0.02104430 0.86069830 -1.205750 49.314380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86072955-0.86069830) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86072955-0.86069830) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02109224--0.02104430) × cos(0.86072955) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.65188441054364 × 6371000     		do = 199.102278484769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02109224--0.02104430) × cos(0.86069830) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.651908107673675 × 6371000     		du = 199.109516198245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86072955)-sin(0.86069830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65188441054364-0.651908107673675)×R²
    abs(-0.02104430--0.02109224)×2.36971300346944e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.36971300346944e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.36971300346944e-05×40589641000000     		ar = 39640.7397519956m²