Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65094 / 47658
↖ ↑ ↗
← N 44.004669°
W  1.213989°		 ← 219.69 m → N 44.004669°
W  1.211243°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
N 44.002693°
W  1.213989°		 ← 219.69 m →
48 260 m²		 N 44.002693°
W  1.211243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496631622314453 y=0.363605499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496631622314453 × 217)
    floor (0.496631622314453 × 131072)
    floor (65094.5)     		tx = 65094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363605499267578 × 217)
    floor (0.363605499267578 × 131072)
    floor (47658.5)     		ty = 47658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65094 / 47658 ti = "17/65094/47658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65094/47658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65094 ÷ 217
    65094 ÷ 131072     		x = 0.496627807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47658 ÷ 217
    47658 ÷ 131072     		y = 0.363601684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496627807617188 × 2 - 1) × π
    -0.006744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02118811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363601684570312 × 2 - 1) × π
    0.272796630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.857015891407364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02118811} λ = -0.02118811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857015891407364))-π/2
    2×atan(2.35611927697527)-π/2
    2×1.16941134446758-π/2
    2.33882268893515-1.57079632675     		φ = 0.76802636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02118811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.213989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76802636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.004669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65094 KachelY 47658 -0.02118811 0.76802636 -1.213989 44.004669
    Oben rechts KachelX + 1 65095 KachelY 47658 -0.02114017 0.76802636 -1.211243 44.004669
    Unten links KachelX 65094 KachelY + 1 47659 -0.02118811 0.76799188 -1.213989 44.002693
    Unten rechts KachelX + 1 65095 KachelY + 1 47659 -0.02114017 0.76799188 -1.211243 44.002693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76802636-0.76799188) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dl = 219.672080000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76802636-0.76799188) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dr = 219.672080000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02118811--0.02114017) × cos(0.76802636) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719283190849292 × 6371000     		do = 219.687600834705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02118811--0.02114017) × cos(0.76799188) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719307144263415 × 6371000     		du = 219.694916823939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76802636)-sin(0.76799188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719283190849292-0.719307144263415)×R²
    abs(-0.02114017--0.02118811)×2.39534141233122e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39534141233122e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39534141233122e-05×40589641000000     		ar = 48260.0357898645m²