Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65092 / 47683
↖ ↑ ↗
← N 43.955259°
W  1.219482°		 ← 219.82 m → N 43.955259°
W  1.216736°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
N 43.953282°
W  1.219482°		 ← 219.83 m →
48 332 m²		 N 43.953282°
W  1.216736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496616363525391 y=0.363796234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496616363525391 × 217)
    floor (0.496616363525391 × 131072)
    floor (65092.5)     		tx = 65092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363796234130859 × 217)
    floor (0.363796234130859 × 131072)
    floor (47683.5)     		ty = 47683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65092 / 47683 ti = "17/65092/47683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65092/47683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65092 ÷ 217
    65092 ÷ 131072     		x = 0.496612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47683 ÷ 217
    47683 ÷ 131072     		y = 0.363792419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.00677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02128398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363792419433594 × 2 - 1) × π
    0.272415161132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.855817468916863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02128398} λ = -0.02128398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855817468916863))-π/2
    2×atan(2.35329734191641)-π/2
    2×1.1689801624769-π/2
    2.33796032495381-1.57079632675     		φ = 0.76716400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02128398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.219482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76716400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.955259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65092 KachelY 47683 -0.02128398 0.76716400 -1.219482 43.955259
    Oben rechts KachelX + 1 65093 KachelY 47683 -0.02123605 0.76716400 -1.216736 43.955259
    Unten links KachelX 65092 KachelY + 1 47684 -0.02128398 0.76712949 -1.219482 43.953282
    Unten rechts KachelX + 1 65093 KachelY + 1 47684 -0.02123605 0.76712949 -1.216736 43.953282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76716400-0.76712949) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dl = 219.863209999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76716400-0.76712949) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dr = 219.863209999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02128398--0.02123605) × cos(0.76716400) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719882019462766 × 6371000     		do = 219.824634823657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02128398--0.02123605) × cos(0.76712949) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719905972302487 × 6371000     		du = 219.831949111419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76716400)-sin(0.76712949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719882019462766-0.719905972302487)×R²
    abs(-0.02123605--0.02128398)×2.39528397208977e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39528397208977e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39528397208977e-05×40589641000000     		ar = 48332.1539254964m²