Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65092 / 45508
↖ ↑ ↗
← N 48.100095°
W  1.219482°		 ← 203.93 m → N 48.100095°
W  1.216736°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 48.098260°
W  1.219482°		 ← 203.94 m →
41 589 m²		 N 48.098260°
W  1.216736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496616363525391 y=0.347202301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496616363525391 × 217)
    floor (0.496616363525391 × 131072)
    floor (65092.5)     		tx = 65092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347202301025391 × 217)
    floor (0.347202301025391 × 131072)
    floor (45508.5)     		ty = 45508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65092 / 45508 ti = "17/65092/45508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65092/45508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65092 ÷ 217
    65092 ÷ 131072     		x = 0.496612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45508 ÷ 217
    45508 ÷ 131072     		y = 0.347198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.00677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02128398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347198486328125 × 2 - 1) × π
    0.30560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.960080225590485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02128398} λ = -0.02128398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960080225590485))-π/2
    2×atan(2.61190600671972)-π/2
    2×1.20515067488864-π/2
    2.41030134977728-1.57079632675     		φ = 0.83950502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02128398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.219482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83950502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.100095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65092 KachelY 45508 -0.02128398 0.83950502 -1.219482 48.100095
    Oben rechts KachelX + 1 65093 KachelY 45508 -0.02123605 0.83950502 -1.216736 48.100095
    Unten links KachelX 65092 KachelY + 1 45509 -0.02128398 0.83947301 -1.219482 48.098260
    Unten rechts KachelX + 1 65093 KachelY + 1 45509 -0.02123605 0.83947301 -1.216736 48.098260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83950502-0.83947301) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83950502-0.83947301) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02128398--0.02123605) × cos(0.83950502) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.66783132751185 × 6371000     		do = 203.93032986662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02128398--0.02123605) × cos(0.83947301) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.667855152617566 × 6371000     		du = 203.937605149266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83950502)-sin(0.83947301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66783132751185-0.667855152617566)×R²
    abs(-0.02123605--0.02128398)×2.38251057156358e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38251057156358e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38251057156358e-05×40589641000000     		ar = 41589.4184603979m²