Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65084 / 47660
↖ ↑ ↗
← N 44.000718°
W  1.241455°		 ← 219.70 m → N 44.000718°
W  1.238708°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
N 43.998742°
W  1.241455°		 ← 219.71 m →
48 263 m²		 N 43.998742°
W  1.238708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496555328369141 y=0.363620758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496555328369141 × 217)
    floor (0.496555328369141 × 131072)
    floor (65084.5)     		tx = 65084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363620758056641 × 217)
    floor (0.363620758056641 × 131072)
    floor (47660.5)     		ty = 47660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65084 / 47660 ti = "17/65084/47660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65084/47660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65084 ÷ 217
    65084 ÷ 131072     		x = 0.496551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47660 ÷ 217
    47660 ÷ 131072     		y = 0.363616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.00689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02166748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363616943359375 × 2 - 1) × π
    0.27276611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.856920017608124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02166748} λ = -0.02166748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856920017608124))-π/2
    2×atan(2.35589339769685)-π/2
    2×1.16937686311325-π/2
    2.3387537262265-1.57079632675     		φ = 0.76795740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02166748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.241455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76795740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.000718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65084 KachelY 47660 -0.02166748 0.76795740 -1.241455 44.000718
    Oben rechts KachelX + 1 65085 KachelY 47660 -0.02161954 0.76795740 -1.238708 44.000718
    Unten links KachelX 65084 KachelY + 1 47661 -0.02166748 0.76792292 -1.241455 43.998742
    Unten rechts KachelX + 1 65085 KachelY + 1 47661 -0.02161954 0.76792292 -1.238708 43.998742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76795740-0.76792292) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dl = 219.672080000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76795740-0.76792292) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dr = 219.672080000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02166748--0.02161954) × cos(0.76795740) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719331096822375 × 6371000     		do = 219.702232551985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02166748--0.02161954) × cos(0.76792292) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719355048526144 × 6371000     		du = 219.709548018832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76795740)-sin(0.76792292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719331096822375-0.719355048526144)×R²
    abs(-0.02161954--0.02166748)×2.39517037687875e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39517037687875e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39517037687875e-05×40589641000000     		ar = 48263.2499121072m²