Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65076 / 44860
↖ ↑ ↗
← N 49.274973°
W  1.263428°		 ← 199.23 m → N 49.274973°
W  1.260681°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.273181°
W  1.263428°		 ← 199.23 m →
39 704 m²		 N 49.273181°
W  1.260681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496494293212891 y=0.342258453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496494293212891 × 217)
    floor (0.496494293212891 × 131072)
    floor (65076.5)     		tx = 65076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342258453369141 × 217)
    floor (0.342258453369141 × 131072)
    floor (44860.5)     		ty = 44860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65076 / 44860 ti = "17/65076/44860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65076/44860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65076 ÷ 217
    65076 ÷ 131072     		x = 0.496490478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44860 ÷ 217
    44860 ÷ 131072     		y = 0.342254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.00701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02205097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342254638671875 × 2 - 1) × π
    0.31549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.991143336544281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02205097} λ = -0.02205097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991143336544281))-π/2
    2×atan(2.69431321875698)-π/2
    2×1.21540342114673-π/2
    2.43080684229345-1.57079632675     		φ = 0.86001052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02205097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.263428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86001052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.274973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65076 KachelY 44860 -0.02205097 0.86001052 -1.263428 49.274973
    Oben rechts KachelX + 1 65077 KachelY 44860 -0.02200304 0.86001052 -1.260681 49.274973
    Unten links KachelX 65076 KachelY + 1 44861 -0.02205097 0.85997924 -1.263428 49.273181
    Unten rechts KachelX + 1 65077 KachelY + 1 44861 -0.02200304 0.85997924 -1.260681 49.273181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86001052-0.85997924) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86001052-0.85997924) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02205097--0.02200304) × cos(0.86001052) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.652429495624188 × 6371000     		do = 199.22719521567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02205097--0.02200304) × cos(0.85997924) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.652453200835063 × 6371000     		du = 199.234433886985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86001052)-sin(0.85997924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652429495624188-0.652453200835063)×R²
    abs(-0.02200304--0.02205097)×2.37052108758018e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.37052108758018e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.37052108758018e-05×40589641000000     		ar = 39703.6889734533m²