Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65073 / 47665
↖ ↑ ↗
← N 43.990838°
W  1.271667°		 ← 219.69 m → N 43.990838°
W  1.268921°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
N 43.988862°
W  1.271667°		 ← 219.70 m →
48 275 m²		 N 43.988862°
W  1.268921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496471405029297 y=0.363658905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496471405029297 × 217)
    floor (0.496471405029297 × 131072)
    floor (65073.5)     		tx = 65073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363658905029297 × 217)
    floor (0.363658905029297 × 131072)
    floor (47665.5)     		ty = 47665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65073 / 47665 ti = "17/65073/47665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65073/47665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65073 ÷ 217
    65073 ÷ 131072     		x = 0.496467590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47665 ÷ 217
    47665 ÷ 131072     		y = 0.363655090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496467590332031 × 2 - 1) × π
    -0.0070648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02219478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363655090332031 × 2 - 1) × π
    0.272689819335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.856680333110024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02219478} λ = -0.02219478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856680333110024))-π/2
    2×atan(2.3553287942363)-π/2
    2×1.16929064968006-π/2
    2.33858129936013-1.57079632675     		φ = 0.76778497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02219478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.271667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76778497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.990838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65073 KachelY 47665 -0.02219478 0.76778497 -1.271667 43.990838
    Oben rechts KachelX + 1 65074 KachelY 47665 -0.02214685 0.76778497 -1.268921 43.990838
    Unten links KachelX 65073 KachelY + 1 47666 -0.02219478 0.76775048 -1.271667 43.988862
    Unten rechts KachelX + 1 65074 KachelY + 1 47666 -0.02214685 0.76775048 -1.268921 43.988862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76778497-0.76775048) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76778497-0.76775048) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02219478--0.02214685) × cos(0.76778497) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719450867625036 × 6371000     		do = 219.692977423249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02219478--0.02214685) × cos(0.76775048) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719474821996861 × 6371000     		du = 219.700292178858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76778497)-sin(0.76775048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719450867625036-0.719474821996861)×R²
    abs(-0.02214685--0.02219478)×2.3954371825563e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3954371825563e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3954371825563e-05×40589641000000     		ar = 48275.2136133119m²