Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65072 / 47664
↖ ↑ ↗
← N 43.992814°
W  1.274414°		 ← 219.73 m → N 43.992814°
W  1.271667°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
N 43.990838°
W  1.274414°		 ← 219.74 m →
48 284 m²		 N 43.990838°
W  1.271667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496463775634766 y=0.363651275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496463775634766 × 217)
    floor (0.496463775634766 × 131072)
    floor (65072.5)     		tx = 65072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363651275634766 × 217)
    floor (0.363651275634766 × 131072)
    floor (47664.5)     		ty = 47664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65072 / 47664 ti = "17/65072/47664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65072/47664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65072 ÷ 217
    65072 ÷ 131072     		x = 0.4964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47664 ÷ 217
    47664 ÷ 131072     		y = 0.3636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3636474609375 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.856728270009644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02224272} λ = -0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856728270009644))-π/2
    2×atan(2.35544170410253)-π/2
    2×1.16930789351497-π/2
    2.33861578702993-1.57079632675     		φ = 0.76781946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76781946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.992814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65072 KachelY 47664 -0.02224272 0.76781946 -1.274414 43.992814
    Oben rechts KachelX + 1 65073 KachelY 47664 -0.02219478 0.76781946 -1.271667 43.992814
    Unten links KachelX 65072 KachelY + 1 47665 -0.02224272 0.76778497 -1.274414 43.990838
    Unten rechts KachelX + 1 65073 KachelY + 1 47665 -0.02219478 0.76778497 -1.271667 43.990838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76781946-0.76778497) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76781946-0.76778497) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02224272--0.02219478) × cos(0.76781946) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71942691239738 × 6371000     		do = 219.731497094884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02224272--0.02219478) × cos(0.76778497) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719450867625036 × 6371000     		du = 219.738813638018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76781946)-sin(0.76778497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71942691239738-0.719450867625036)×R²
    abs(-0.02219478--0.02224272)×2.39552276556365e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39552276556365e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39552276556365e-05×40589641000000     		ar = 48283.6779598402m²