Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65058 / 47778
↖ ↑ ↗
← N 43.767127°
W  1.312866°		 ← 220.57 m → N 43.767127°
W  1.310120°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 43.765143°
W  1.312866°		 ← 220.57 m →
48 650 m²		 N 43.765143°
W  1.310120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496356964111328 y=0.364521026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496356964111328 × 217)
    floor (0.496356964111328 × 131072)
    floor (65058.5)     		tx = 65058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364521026611328 × 217)
    floor (0.364521026611328 × 131072)
    floor (47778.5)     		ty = 47778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65058 / 47778 ti = "17/65058/47778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65058/47778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65058 ÷ 217
    65058 ÷ 131072     		x = 0.496353149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47778 ÷ 217
    47778 ÷ 131072     		y = 0.364517211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496353149414062 × 2 - 1) × π
    -0.007293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02291384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364517211914062 × 2 - 1) × π
    0.270965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.851263463452957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02291384} λ = -0.02291384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851263463452957))-π/2
    2×atan(2.34260477843876)-π/2
    2×1.16733839871797-π/2
    2.33467679743594-1.57079632675     		φ = 0.76388047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02291384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.312866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76388047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.767127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65058 KachelY 47778 -0.02291384 0.76388047 -1.312866 43.767127
    Oben rechts KachelX + 1 65059 KachelY 47778 -0.02286590 0.76388047 -1.310120 43.767127
    Unten links KachelX 65058 KachelY + 1 47779 -0.02291384 0.76384585 -1.312866 43.765143
    Unten rechts KachelX + 1 65059 KachelY + 1 47779 -0.02286590 0.76384585 -1.310120 43.765143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76388047-0.76384585) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76388047-0.76384585) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02291384--0.02286590) × cos(0.76388047) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72215722114934 × 6371000     		do = 220.56540366588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02291384--0.02286590) × cos(0.76384585) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.722181168373007 × 6371000     		du = 220.572717764389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76388047)-sin(0.76384585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72215722114934-0.722181168373007)×R²
    abs(-0.02286590--0.02291384)×2.39472236673866e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39472236673866e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39472236673866e-05×40589641000000     		ar = 48649.5987238672m²