Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65050 / 44977
↖ ↑ ↗
← N 49.064869°
W  1.334839°		 ← 200.07 m → N 49.064869°
W  1.332092°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 49.063069°
W  1.334839°		 ← 200.08 m →
40 038 m²		 N 49.063069°
W  1.332092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496295928955078 y=0.343151092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496295928955078 × 217)
    floor (0.496295928955078 × 131072)
    floor (65050.5)     		tx = 65050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343151092529297 × 217)
    floor (0.343151092529297 × 131072)
    floor (44977.5)     		ty = 44977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65050 / 44977 ti = "17/65050/44977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65050/44977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65050 ÷ 217
    65050 ÷ 131072     		x = 0.496292114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44977 ÷ 217
    44977 ÷ 131072     		y = 0.343147277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496292114257812 × 2 - 1) × π
    -0.007415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02329733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343147277832031 × 2 - 1) × π
    0.313705444335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.985534719288734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02329733} λ = -0.02329733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985534719288734))-π/2
    2×atan(2.6792441449818)-π/2
    2×1.21356991768847-π/2
    2.42713983537694-1.57079632675     		φ = 0.85634351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02329733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.334839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85634351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.064869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65050 KachelY 44977 -0.02329733 0.85634351 -1.334839 49.064869
    Oben rechts KachelX + 1 65051 KachelY 44977 -0.02324940 0.85634351 -1.332092 49.064869
    Unten links KachelX 65050 KachelY + 1 44978 -0.02329733 0.85631210 -1.334839 49.063069
    Unten rechts KachelX + 1 65051 KachelY + 1 44978 -0.02324940 0.85631210 -1.332092 49.063069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85634351-0.85631210) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85634351-0.85631210) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02329733--0.02324940) × cos(0.85634351) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.655204144228854 × 6371000     		do = 200.074467546142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02329733--0.02324940) × cos(0.85631210) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.65522787264891 × 6371000     		du = 200.081713304659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85634351)-sin(0.85631210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655204144228854-0.65522787264891)×R²
    abs(-0.02324940--0.02329733)×2.37284200556021e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37284200556021e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37284200556021e-05×40589641000000     		ar = 40038.248920988m²