Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65045 / 47635
↖ ↑ ↗
← N 44.050090°
W  1.348572°		 ← 219.52 m → N 44.050090°
W  1.345825°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
N 44.048116°
W  1.348572°		 ← 219.53 m →
48 181 m²		 N 44.048116°
W  1.345825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496257781982422 y=0.363430023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496257781982422 × 217)
    floor (0.496257781982422 × 131072)
    floor (65045.5)     		tx = 65045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363430023193359 × 217)
    floor (0.363430023193359 × 131072)
    floor (47635.5)     		ty = 47635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65045 / 47635 ti = "17/65045/47635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65045/47635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65045 ÷ 217
    65045 ÷ 131072     		x = 0.496253967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47635 ÷ 217
    47635 ÷ 131072     		y = 0.363426208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496253967285156 × 2 - 1) × π
    -0.0074920654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02353702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363426208496094 × 2 - 1) × π
    0.273147583007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.858118440098625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02353702} λ = -0.02353702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858118440098625))-π/2
    2×atan(2.35871844579235)-π/2
    2×1.16980771497436-π/2
    2.33961542994871-1.57079632675     		φ = 0.76881910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02353702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.348572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76881910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.050090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65045 KachelY 47635 -0.02353702 0.76881910 -1.348572 44.050090
    Oben rechts KachelX + 1 65046 KachelY 47635 -0.02348908 0.76881910 -1.345825 44.050090
    Unten links KachelX 65045 KachelY + 1 47636 -0.02353702 0.76878465 -1.348572 44.048116
    Unten rechts KachelX + 1 65046 KachelY + 1 47636 -0.02348908 0.76878465 -1.345825 44.048116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76881910-0.76878465) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76881910-0.76878465) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02353702--0.02348908) × cos(0.76881910) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718732234951111 × 6371000     		do = 219.519324721796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02353702--0.02348908) × cos(0.76878465) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71875618716082 × 6371000     		du = 219.526640343171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76881910)-sin(0.76878465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718732234951111-0.71875618716082)×R²
    abs(-0.02348908--0.02353702)×2.39522097090772e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39522097090772e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39522097090772e-05×40589641000000     		ar = 48181.1127578482m²