Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65043 / 47636
↖ ↑ ↗
← N 44.048116°
W  1.354065°		 ← 219.53 m → N 44.048116°
W  1.351318°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
N 44.046141°
W  1.354065°		 ← 219.53 m →
48 197 m²		 N 44.046141°
W  1.351318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496242523193359 y=0.363437652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496242523193359 × 217)
    floor (0.496242523193359 × 131072)
    floor (65043.5)     		tx = 65043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363437652587891 × 217)
    floor (0.363437652587891 × 131072)
    floor (47636.5)     		ty = 47636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65043 / 47636 ti = "17/65043/47636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65043/47636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65043 ÷ 217
    65043 ÷ 131072     		x = 0.496238708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47636 ÷ 217
    47636 ÷ 131072     		y = 0.363433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496238708496094 × 2 - 1) × π
    -0.0075225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02363289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363433837890625 × 2 - 1) × π
    0.27313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.858070503199005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02363289} λ = -0.02363289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858070503199005))-π/2
    2×atan(2.35860537885304)-π/2
    2×1.16979048778982-π/2
    2.33958097557965-1.57079632675     		φ = 0.76878465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02363289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.354065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76878465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.048116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65043 KachelY 47636 -0.02363289 0.76878465 -1.354065 44.048116
    Oben rechts KachelX + 1 65044 KachelY 47636 -0.02358495 0.76878465 -1.351318 44.048116
    Unten links KachelX 65043 KachelY + 1 47637 -0.02363289 0.76875019 -1.354065 44.046141
    Unten rechts KachelX + 1 65044 KachelY + 1 47637 -0.02358495 0.76875019 -1.351318 44.046141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76878465-0.76875019) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dl = 219.544659999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76878465-0.76875019) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dr = 219.544659999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02363289--0.02358495) × cos(0.76878465) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71875618716082 × 6371000     		do = 219.526640343171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02363289--0.02358495) × cos(0.76875019) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718780145469882 × 6371000     		du = 219.533957827445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76878465)-sin(0.76875019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71875618716082-0.718780145469882)×R²
    abs(-0.02358495--0.02363289)×2.39583090618778e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39583090618778e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39583090618778e-05×40589641000000     		ar = 48196.7048770942m²