Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65040 / 47632
↖ ↑ ↗
← N 44.056012°
W  1.362305°		 ← 219.45 m → N 44.056012°
W  1.359558°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
N 44.054038°
W  1.362305°		 ← 219.46 m →
48 166 m²		 N 44.054038°
W  1.359558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496219635009766 y=0.363407135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496219635009766 × 217)
    floor (0.496219635009766 × 131072)
    floor (65040.5)     		tx = 65040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363407135009766 × 217)
    floor (0.363407135009766 × 131072)
    floor (47632.5)     		ty = 47632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65040 / 47632 ti = "17/65040/47632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65040/47632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65040 ÷ 217
    65040 ÷ 131072     		x = 0.4962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47632 ÷ 217
    47632 ÷ 131072     		y = 0.3634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3634033203125 × 2 - 1) × π
    0.273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.858262250797485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02377670} λ = -0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858262250797485))-π/2
    2×atan(2.35905767913256)-π/2
    2×1.16985939308293-π/2
    2.33971878616585-1.57079632675     		φ = 0.76892246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76892246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.056012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65040 KachelY 47632 -0.02377670 0.76892246 -1.362305 44.056012
    Oben rechts KachelX + 1 65041 KachelY 47632 -0.02372877 0.76892246 -1.359558 44.056012
    Unten links KachelX 65040 KachelY + 1 47633 -0.02377670 0.76888801 -1.362305 44.054038
    Unten rechts KachelX + 1 65041 KachelY + 1 47633 -0.02372877 0.76888801 -1.359558 44.054038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76892246-0.76888801) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76892246-0.76888801) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02377670--0.02372877) × cos(0.76892246) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.718660366250526 × 6371000     		do = 219.451588318811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02377670--0.02372877) × cos(0.76888801) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.718684321019377 × 6371000     		du = 219.458903195656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76892246)-sin(0.76888801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718660366250526-0.718684321019377)×R²
    abs(-0.02372877--0.02377670)×2.39547688509756e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39547688509756e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39547688509756e-05×40589641000000     		ar = 48166.2458260731m²