Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65040 / 44814
↖ ↑ ↗
← N 49.357334°
W  1.362305°		 ← 198.89 m → N 49.357334°
W  1.359558°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
N 49.355545°
W  1.362305°		 ← 198.90 m →
39 561 m²		 N 49.355545°
W  1.359558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496219635009766 y=0.341907501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496219635009766 × 217)
    floor (0.496219635009766 × 131072)
    floor (65040.5)     		tx = 65040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341907501220703 × 217)
    floor (0.341907501220703 × 131072)
    floor (44814.5)     		ty = 44814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65040 / 44814 ti = "17/65040/44814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65040/44814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65040 ÷ 217
    65040 ÷ 131072     		x = 0.4962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44814 ÷ 217
    44814 ÷ 131072     		y = 0.341903686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341903686523438 × 2 - 1) × π
    0.316192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.993348433926804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02377670} λ = -0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993348433926804))-π/2
    2×atan(2.70026099708851)-π/2
    2×1.21612215547204-π/2
    2.43224431094408-1.57079632675     		φ = 0.86144798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86144798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.357334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65040 KachelY 44814 -0.02377670 0.86144798 -1.362305 49.357334
    Oben rechts KachelX + 1 65041 KachelY 44814 -0.02372877 0.86144798 -1.359558 49.357334
    Unten links KachelX 65040 KachelY + 1 44815 -0.02377670 0.86141676 -1.362305 49.355545
    Unten rechts KachelX + 1 65041 KachelY + 1 44815 -0.02372877 0.86141676 -1.359558 49.355545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86144798-0.86141676) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86144798-0.86141676) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02377670--0.02372877) × cos(0.86144798) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.651339443708176 × 6371000     		do = 198.894334749806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02377670--0.02372877) × cos(0.86141676) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.651363132704792 × 6371000     		du = 198.901568469901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86144798)-sin(0.86141676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651339443708176-0.651363132704792)×R²
    abs(-0.02372877--0.02377670)×2.36889966158671e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36889966158671e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36889966158671e-05×40589641000000     		ar = 39561.3236910201m²