Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65030 / 47673
↖ ↑ ↗
← N 43.975028°
W  1.389770°		 ← 219.80 m → N 43.975028°
W  1.387024°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
N 43.973051°
W  1.389770°		 ← 219.80 m →
48 312 m²		 N 43.973051°
W  1.387024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496143341064453 y=0.363719940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496143341064453 × 217)
    floor (0.496143341064453 × 131072)
    floor (65030.5)     		tx = 65030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363719940185547 × 217)
    floor (0.363719940185547 × 131072)
    floor (47673.5)     		ty = 47673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65030 / 47673 ti = "17/65030/47673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65030/47673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65030 ÷ 217
    65030 ÷ 131072     		x = 0.496139526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47673 ÷ 217
    47673 ÷ 131072     		y = 0.363716125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496139526367188 × 2 - 1) × π
    -0.007720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02425607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363716125488281 × 2 - 1) × π
    0.272567749023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.856296837913063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02425607} λ = -0.02425607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856296837913063))-π/2
    2×atan(2.35442571013172)-π/2
    2×1.16915267833227-π/2
    2.33830535666453-1.57079632675     		φ = 0.76750903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02425607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.389770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76750903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.975028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65030 KachelY 47673 -0.02425607 0.76750903 -1.389770 43.975028
    Oben rechts KachelX + 1 65031 KachelY 47673 -0.02420813 0.76750903 -1.387024 43.975028
    Unten links KachelX 65030 KachelY + 1 47674 -0.02425607 0.76747453 -1.389770 43.973051
    Unten rechts KachelX + 1 65031 KachelY + 1 47674 -0.02420813 0.76747453 -1.387024 43.973051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76750903-0.76747453) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dl = 219.799500000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76750903-0.76747453) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dr = 219.799500000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02425607--0.02420813) × cos(0.76750903) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719642492520902 × 6371000     		do = 219.79734081364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02425607--0.02420813) × cos(0.76747453) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		du = 219.804657124408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76750903)-sin(0.76747453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719642492520902-0.719666446987764)×R²
    abs(-0.02420813--0.02425607)×2.39544668626523e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39544668626523e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39544668626523e-05×40589641000000     		ar = 48312.1496777187m²