Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65029 / 47674
↖ ↑ ↗
← N 43.973051°
W  1.392517°		 ← 219.80 m → N 43.973051°
W  1.389770°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
N 43.971075°
W  1.392517°		 ← 219.81 m →
48 314 m²		 N 43.971075°
W  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496135711669922 y=0.363727569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496135711669922 × 217)
    floor (0.496135711669922 × 131072)
    floor (65029.5)     		tx = 65029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363727569580078 × 217)
    floor (0.363727569580078 × 131072)
    floor (47674.5)     		ty = 47674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65029 / 47674 ti = "17/65029/47674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65029/47674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65029 ÷ 217
    65029 ÷ 131072     		x = 0.496131896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47674 ÷ 217
    47674 ÷ 131072     		y = 0.363723754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496131896972656 × 2 - 1) × π
    -0.0077362060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02430401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363723754882812 × 2 - 1) × π
    0.272552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.856248901013443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02430401} λ = -0.02430401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856248901013443))-π/2
    2×atan(2.35431284896792)-π/2
    2×1.16913542933024-π/2
    2.33827085866048-1.57079632675     		φ = 0.76747453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02430401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.392517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76747453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.973051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65029 KachelY 47674 -0.02430401 0.76747453 -1.392517 43.973051
    Oben rechts KachelX + 1 65030 KachelY 47674 -0.02425607 0.76747453 -1.389770 43.973051
    Unten links KachelX 65029 KachelY + 1 47675 -0.02430401 0.76744003 -1.392517 43.971075
    Unten rechts KachelX + 1 65030 KachelY + 1 47675 -0.02425607 0.76744003 -1.389770 43.971075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76747453-0.76744003) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dl = 219.799499999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76747453-0.76744003) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dr = 219.799499999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02430401--0.02425607) × cos(0.76747453) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		do = 219.804657124408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02430401--0.02425607) × cos(0.76744003) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719690400598044 × 6371000     		du = 219.811973173553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76747453)-sin(0.76744003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719666446987764-0.719690400598044)×R²
    abs(-0.02425607--0.02430401)×2.39536102796256e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39536102796256e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39536102796256e-05×40589641000000     		ar = 48313.7577702976m²