Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65029 / 47629
↖ ↑ ↗
← N 44.061933°
W  1.392517°		 ← 219.48 m → N 44.061933°
W  1.389770°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
N 44.059959°
W  1.392517°		 ← 219.48 m →
48 171 m²		 N 44.059959°
W  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496135711669922 y=0.363384246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496135711669922 × 217)
    floor (0.496135711669922 × 131072)
    floor (65029.5)     		tx = 65029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363384246826172 × 217)
    floor (0.363384246826172 × 131072)
    floor (47629.5)     		ty = 47629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65029 / 47629 ti = "17/65029/47629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65029/47629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65029 ÷ 217
    65029 ÷ 131072     		x = 0.496131896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47629 ÷ 217
    47629 ÷ 131072     		y = 0.363380432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496131896972656 × 2 - 1) × π
    -0.0077362060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02430401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363380432128906 × 2 - 1) × π
    0.273239135742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.858406061496346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02430401} λ = -0.02430401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858406061496346))-π/2
    2×atan(2.35939696126166)-π/2
    2×1.16991106602392-π/2
    2.33982213204784-1.57079632675     		φ = 0.76902581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02430401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.392517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76902581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.061933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65029 KachelY 47629 -0.02430401 0.76902581 -1.392517 44.061933
    Oben rechts KachelX + 1 65030 KachelY 47629 -0.02425607 0.76902581 -1.389770 44.061933
    Unten links KachelX 65029 KachelY + 1 47630 -0.02430401 0.76899136 -1.392517 44.059959
    Unten rechts KachelX + 1 65030 KachelY + 1 47630 -0.02425607 0.76899136 -1.389770 44.059959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76902581-0.76899136) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76902581-0.76899136) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02430401--0.02425607) × cos(0.76902581) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718588496826639 × 6371000     		do = 219.475423398763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02430401--0.02425607) × cos(0.76899136) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718612454154129 × 6371000     		du = 219.48274058324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76902581)-sin(0.76899136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718588496826639-0.718612454154129)×R²
    abs(-0.02425607--0.02430401)×2.39573274894989e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39573274894989e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39573274894989e-05×40589641000000     		ar = 48171.4774254252m²