Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65027 / 47670
↖ ↑ ↗
← N 43.980958°
W  1.398010°		 ← 219.73 m → N 43.980958°
W  1.395264°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
N 43.978981°
W  1.398010°		 ← 219.74 m →
48 297 m²		 N 43.978981°
W  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496120452880859 y=0.363697052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496120452880859 × 217)
    floor (0.496120452880859 × 131072)
    floor (65027.5)     		tx = 65027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363697052001953 × 217)
    floor (0.363697052001953 × 131072)
    floor (47670.5)     		ty = 47670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65027 / 47670 ti = "17/65027/47670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65027/47670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65027 ÷ 217
    65027 ÷ 131072     		x = 0.496116638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47670 ÷ 217
    47670 ÷ 131072     		y = 0.363693237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496116638183594 × 2 - 1) × π
    -0.0077667236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02439988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363693237304688 × 2 - 1) × π
    0.272613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.856440648611923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02439988} λ = -0.02439988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856440648611923))-π/2
    2×atan(2.35476432608623)-π/2
    2×1.16920442189362-π/2
    2.33840884378724-1.57079632675     		φ = 0.76761252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02439988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.398010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76761252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.980958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65027 KachelY 47670 -0.02439988 0.76761252 -1.398010 43.980958
    Oben rechts KachelX + 1 65028 KachelY 47670 -0.02435195 0.76761252 -1.395264 43.980958
    Unten links KachelX 65027 KachelY + 1 47671 -0.02439988 0.76757802 -1.398010 43.978981
    Unten rechts KachelX + 1 65028 KachelY + 1 47671 -0.02435195 0.76757802 -1.395264 43.978981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76761252-0.76757802) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dl = 219.799500000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76761252-0.76757802) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dr = 219.799500000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02439988--0.02435195) × cos(0.76761252) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.719570630925293 × 6371000     		do = 219.72954858772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02439988--0.02435195) × cos(0.76757802) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.719594587961486 × 6371000     		du = 219.736864156924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76761252)-sin(0.76757802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719570630925293-0.719594587961486)×R²
    abs(-0.02435195--0.02439988)×2.39570361924013e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.39570361924013e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.39570361924013e-05×40589641000000     		ar = 48297.248898816m²