Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65027 / 47627
↖ ↑ ↗
← N 44.065880°
W  1.398010°		 ← 219.42 m → N 44.065880°
W  1.395264°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
N 44.063907°
W  1.398010°		 ← 219.42 m →
48 158 m²		 N 44.063907°
W  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496120452880859 y=0.363368988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496120452880859 × 217)
    floor (0.496120452880859 × 131072)
    floor (65027.5)     		tx = 65027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363368988037109 × 217)
    floor (0.363368988037109 × 131072)
    floor (47627.5)     		ty = 47627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65027 / 47627 ti = "17/65027/47627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65027/47627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65027 ÷ 217
    65027 ÷ 131072     		x = 0.496116638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47627 ÷ 217
    47627 ÷ 131072     		y = 0.363365173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496116638183594 × 2 - 1) × π
    -0.0077667236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02439988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363365173339844 × 2 - 1) × π
    0.273269653320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.858501935295586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02439988} λ = -0.02439988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858501935295586))-π/2
    2×atan(2.35962317645614)-π/2
    2×1.16994551178036-π/2
    2.33989102356072-1.57079632675     		φ = 0.76909470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02439988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.398010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76909470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.065880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65027 KachelY 47627 -0.02439988 0.76909470 -1.398010 44.065880
    Oben rechts KachelX + 1 65028 KachelY 47627 -0.02435195 0.76909470 -1.395264 44.065880
    Unten links KachelX 65027 KachelY + 1 47628 -0.02439988 0.76906025 -1.398010 44.063907
    Unten rechts KachelX + 1 65028 KachelY + 1 47628 -0.02435195 0.76906025 -1.395264 44.063907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76909470-0.76906025) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76909470-0.76906025) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02439988--0.02435195) × cos(0.76909470) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.718540586568071 × 6371000     		do = 219.415012151808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02439988--0.02435195) × cos(0.76906025) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.71856454560093 × 6371000     		du = 219.422328330719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76909470)-sin(0.76906025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718540586568071-0.71856454560093)×R²
    abs(-0.02435195--0.02439988)×2.39590328586781e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.39590328586781e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.39590328586781e-05×40589641000000     		ar = 48158.2181970954m²