Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65023 / 47618
↖ ↑ ↗
← N 44.083639°
W  1.408997°		 ← 219.39 m → N 44.083639°
W  1.406250°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
N 44.081666°
W  1.408997°		 ← 219.40 m →
48 126 m²		 N 44.081666°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496089935302734 y=0.363300323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496089935302734 × 217)
    floor (0.496089935302734 × 131072)
    floor (65023.5)     		tx = 65023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363300323486328 × 217)
    floor (0.363300323486328 × 131072)
    floor (47618.5)     		ty = 47618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65023 / 47618 ti = "17/65023/47618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65023/47618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65023 ÷ 217
    65023 ÷ 131072     		x = 0.496086120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47618 ÷ 217
    47618 ÷ 131072     		y = 0.363296508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496086120605469 × 2 - 1) × π
    -0.0078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02459163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363296508789062 × 2 - 1) × π
    0.273406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.858933367392166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02459163} λ = -0.02459163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858933367392166))-π/2
    2×atan(2.36064141326452)-π/2
    2×1.17010048926222-π/2
    2.34020097852444-1.57079632675     		φ = 0.76940465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02459163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.408997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76940465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.083639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65023 KachelY 47618 -0.02459163 0.76940465 -1.408997 44.083639
    Oben rechts KachelX + 1 65024 KachelY 47618 -0.02454369 0.76940465 -1.406250 44.083639
    Unten links KachelX 65023 KachelY + 1 47619 -0.02459163 0.76937022 -1.408997 44.081666
    Unten rechts KachelX + 1 65024 KachelY + 1 47619 -0.02454369 0.76937022 -1.406250 44.081666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76940465-0.76937022) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76940465-0.76937022) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02459163--0.02454369) × cos(0.76940465) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71832498647207 × 6371000     		do = 219.394940553721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02459163--0.02454369) × cos(0.76937022) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718348939262663 × 6371000     		du = 219.402256352513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76940465)-sin(0.76937022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71832498647207-0.718348939262663)×R²
    abs(-0.02454369--0.02459163)×2.39527905928627e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39527905928627e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39527905928627e-05×40589641000000     		ar = 48125.8570523977m²