Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65022 / 47662
↖ ↑ ↗
← N 43.996766°
W  1.411743°		 ← 219.72 m → N 43.996766°
W  1.408997°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
N 43.994791°
W  1.411743°		 ← 219.72 m →
48 266 m²		 N 43.994791°
W  1.408997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496082305908203 y=0.363636016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496082305908203 × 217)
    floor (0.496082305908203 × 131072)
    floor (65022.5)     		tx = 65022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363636016845703 × 217)
    floor (0.363636016845703 × 131072)
    floor (47662.5)     		ty = 47662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65022 / 47662 ti = "17/65022/47662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65022/47662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65022 ÷ 217
    65022 ÷ 131072     		x = 0.496078491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47662 ÷ 217
    47662 ÷ 131072     		y = 0.363632202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496078491210938 × 2 - 1) × π
    -0.007843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02463957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363632202148438 × 2 - 1) × π
    0.272735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.856824143808884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02463957} λ = -0.02463957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856824143808884))-π/2
    2×atan(2.3556675400733)-π/2
    2×1.16934237946238-π/2
    2.33868475892475-1.57079632675     		φ = 0.76788843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02463957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76788843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.996766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65022 KachelY 47662 -0.02463957 0.76788843 -1.411743 43.996766
    Oben rechts KachelX + 1 65023 KachelY 47662 -0.02459163 0.76788843 -1.408997 43.996766
    Unten links KachelX 65022 KachelY + 1 47663 -0.02463957 0.76785395 -1.411743 43.994791
    Unten rechts KachelX + 1 65023 KachelY + 1 47663 -0.02459163 0.76785395 -1.408997 43.994791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76788843-0.76785395) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dl = 219.672079999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76788843-0.76785395) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dr = 219.672079999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02463957--0.02459163) × cos(0.76788843) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719379006320871 × 6371000     		do = 219.716865346016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02463957--0.02459163) × cos(0.76785395) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719402956313923 × 6371000     		du = 219.724180290367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76788843)-sin(0.76785395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719379006320871-0.719402956313923)×R²
    abs(-0.02459163--0.02463957)×2.39499930524412e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39499930524412e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39499930524412e-05×40589641000000     		ar = 48266.4642709079m²