Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65022 / 47615
↖ ↑ ↗
← N 44.089558°
W  1.411743°		 ← 219.37 m → N 44.089558°
W  1.408997°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
N 44.087585°
W  1.411743°		 ← 219.38 m →
48 121 m²		 N 44.087585°
W  1.408997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496082305908203 y=0.363277435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496082305908203 × 217)
    floor (0.496082305908203 × 131072)
    floor (65022.5)     		tx = 65022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363277435302734 × 217)
    floor (0.363277435302734 × 131072)
    floor (47615.5)     		ty = 47615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65022 / 47615 ti = "17/65022/47615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65022/47615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65022 ÷ 217
    65022 ÷ 131072     		x = 0.496078491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47615 ÷ 217
    47615 ÷ 131072     		y = 0.363273620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496078491210938 × 2 - 1) × π
    -0.007843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02463957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363273620605469 × 2 - 1) × π
    0.273452758789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.859077178091026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02463957} λ = -0.02463957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859077178091026))-π/2
    2×atan(2.36098092316791)-π/2
    2×1.17015213808742-π/2
    2.34030427617484-1.57079632675     		φ = 0.76950795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02463957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76950795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.089558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65022 KachelY 47615 -0.02463957 0.76950795 -1.411743 44.089558
    Oben rechts KachelX + 1 65023 KachelY 47615 -0.02459163 0.76950795 -1.408997 44.089558
    Unten links KachelX 65022 KachelY + 1 47616 -0.02463957 0.76947352 -1.411743 44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 65023 KachelY + 1 47616 -0.02459163 0.76947352 -1.408997 44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76950795-0.76947352) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76950795-0.76947352) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02463957--0.02459163) × cos(0.76950795) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718253116033464 × 6371000     		do = 219.372989471826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02463957--0.02459163) × cos(0.76947352) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 219.380306050896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76950795)-sin(0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718253116033464-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.02459163--0.02463957)×2.39553453159624e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39553453159624e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39553453159624e-05×40589641000000     		ar = 48121.0420907243m²