Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65022 / 47613
↖ ↑ ↗
← N 44.093503°
W  1.411743°		 ← 219.36 m → N 44.093503°
W  1.408997°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
N 44.091531°
W  1.411743°		 ← 219.37 m →
48 118 m²		 N 44.091531°
W  1.408997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496082305908203 y=0.363262176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496082305908203 × 217)
    floor (0.496082305908203 × 131072)
    floor (65022.5)     		tx = 65022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363262176513672 × 217)
    floor (0.363262176513672 × 131072)
    floor (47613.5)     		ty = 47613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65022 / 47613 ti = "17/65022/47613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65022/47613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65022 ÷ 217
    65022 ÷ 131072     		x = 0.496078491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47613 ÷ 217
    47613 ÷ 131072     		y = 0.363258361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496078491210938 × 2 - 1) × π
    -0.007843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02463957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363258361816406 × 2 - 1) × π
    0.273483276367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.859173051890266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02463957} λ = -0.02463957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859173051890266))-π/2
    2×atan(2.36120729023011)-π/2
    2×1.17018656776657-π/2
    2.34037313553314-1.57079632675     		φ = 0.76957681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02463957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76957681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.093503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65022 KachelY 47613 -0.02463957 0.76957681 -1.411743 44.093503
    Oben rechts KachelX + 1 65023 KachelY 47613 -0.02459163 0.76957681 -1.408997 44.093503
    Unten links KachelX 65022 KachelY + 1 47614 -0.02463957 0.76954238 -1.411743 44.091531
    Unten rechts KachelX + 1 65023 KachelY + 1 47614 -0.02459163 0.76954238 -1.408997 44.091531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76957681-0.76954238) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76957681-0.76954238) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02463957--0.02459163) × cos(0.76957681) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718205202788555 × 6371000     		do = 219.358355533544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02463957--0.02459163) × cos(0.76954238) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718229159836713 × 6371000     		du = 219.365672632705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76957681)-sin(0.76954238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718205202788555-0.718229159836713)×R²
    abs(-0.02459163--0.02463957)×2.395704815783e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.395704815783e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.395704815783e-05×40589641000000     		ar = 48117.8321418395m²