Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65020 / 47628
↖ ↑ ↗
← N 44.063907°
W  1.417236°		 ← 219.47 m → N 44.063907°
W  1.414490°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
N 44.061933°
W  1.417236°		 ← 219.48 m →
48 156 m²		 N 44.061933°
W  1.414490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496067047119141 y=0.363376617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496067047119141 × 217)
    floor (0.496067047119141 × 131072)
    floor (65020.5)     		tx = 65020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363376617431641 × 217)
    floor (0.363376617431641 × 131072)
    floor (47628.5)     		ty = 47628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65020 / 47628 ti = "17/65020/47628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65020/47628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65020 ÷ 217
    65020 ÷ 131072     		x = 0.496063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47628 ÷ 217
    47628 ÷ 131072     		y = 0.363372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.00787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02473544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363372802734375 × 2 - 1) × π
    0.27325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.858453998395966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02473544} λ = -0.02473544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858453998395966))-π/2
    2×atan(2.35951006614788)-π/2
    2×1.16992828918923-π/2
    2.33985657837846-1.57079632675     		φ = 0.76906025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02473544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76906025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.063907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65020 KachelY 47628 -0.02473544 0.76906025 -1.417236 44.063907
    Oben rechts KachelX + 1 65021 KachelY 47628 -0.02468750 0.76906025 -1.414490 44.063907
    Unten links KachelX 65020 KachelY + 1 47629 -0.02473544 0.76902581 -1.417236 44.061933
    Unten rechts KachelX + 1 65021 KachelY + 1 47629 -0.02468750 0.76902581 -1.414490 44.061933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76906025-0.76902581) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dl = 219.417239999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76906025-0.76902581) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dr = 219.417239999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02473544--0.02468750) × cos(0.76906025) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.71856454560093 × 6371000     		do = 219.468108077927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02473544--0.02468750) × cos(0.76902581) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.718588496826639 × 6371000     		du = 219.475423398763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76906025)-sin(0.76902581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71856454560093-0.718588496826639)×R²
    abs(-0.02468750--0.02473544)×2.39512257093066e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39512257093066e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39512257093066e-05×40589641000000     		ar = 48155.8891008283m²