Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65018 / 43932
↖ ↑ ↗
← N 50.909961°
W  1.422729°		 ← 192.54 m → N 50.909961°
W  1.419983°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.908229°
W  1.422729°		 ← 192.55 m →
37 084 m²		 N 50.908229°
W  1.419983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496051788330078 y=0.335178375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496051788330078 × 217)
    floor (0.496051788330078 × 131072)
    floor (65018.5)     		tx = 65018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335178375244141 × 217)
    floor (0.335178375244141 × 131072)
    floor (43932.5)     		ty = 43932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65018 / 43932 ti = "17/65018/43932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65018/43932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65018 ÷ 217
    65018 ÷ 131072     		x = 0.496047973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43932 ÷ 217
    43932 ÷ 131072     		y = 0.335174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496047973632812 × 2 - 1) × π
    -0.007904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02483131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335174560546875 × 2 - 1) × π
    0.32965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03562877939169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02483131} λ = -0.02483131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03562877939169))-π/2
    2×atan(2.81687687302227)-π/2
    2×1.22967138131369-π/2
    2.45934276262738-1.57079632675     		φ = 0.88854644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02483131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.422729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88854644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.909961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65018 KachelY 43932 -0.02483131 0.88854644 -1.422729 50.909961
    Oben rechts KachelX + 1 65019 KachelY 43932 -0.02478338 0.88854644 -1.419983 50.909961
    Unten links KachelX 65018 KachelY + 1 43933 -0.02483131 0.88851621 -1.422729 50.908229
    Unten rechts KachelX + 1 65019 KachelY + 1 43933 -0.02478338 0.88851621 -1.419983 50.908229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88854644-0.88851621) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88854644-0.88851621) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02483131--0.02478338) × cos(0.88854644) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.630540881662994 × 6371000     		do = 192.543243622594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02483131--0.02478338) × cos(0.88851621) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.630564344571932 × 6371000     		du = 192.550408304097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88854644)-sin(0.88851621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630540881662994-0.630564344571932)×R²
    abs(-0.02478338--0.02483131)×2.34629089382876e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.34629089382876e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.34629089382876e-05×40589641000000     		ar = 37083.6194897583m²