Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65017 / 47685
↖ ↑ ↗
← N 43.951305°
W  1.425476°		 ← 219.89 m → N 43.951305°
W  1.422729°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
N 43.949328°
W  1.425476°		 ← 219.89 m →
48 345 m²		 N 43.949328°
W  1.422729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496044158935547 y=0.363811492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496044158935547 × 217)
    floor (0.496044158935547 × 131072)
    floor (65017.5)     		tx = 65017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363811492919922 × 217)
    floor (0.363811492919922 × 131072)
    floor (47685.5)     		ty = 47685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65017 / 47685 ti = "17/65017/47685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65017/47685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65017 ÷ 217
    65017 ÷ 131072     		x = 0.496040344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47685 ÷ 217
    47685 ÷ 131072     		y = 0.363807678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496040344238281 × 2 - 1) × π
    -0.0079193115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02487925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363807678222656 × 2 - 1) × π
    0.272384643554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.855721595117622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02487925} λ = -0.02487925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855721595117622))-π/2
    2×atan(2.35307173317465)-π/2
    2×1.16894565241653-π/2
    2.33789130483306-1.57079632675     		φ = 0.76709498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02487925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.425476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76709498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.951305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65017 KachelY 47685 -0.02487925 0.76709498 -1.425476 43.951305
    Oben rechts KachelX + 1 65018 KachelY 47685 -0.02483131 0.76709498 -1.422729 43.951305
    Unten links KachelX 65017 KachelY + 1 47686 -0.02487925 0.76706047 -1.425476 43.949328
    Unten rechts KachelX + 1 65018 KachelY + 1 47686 -0.02483131 0.76706047 -1.422729 43.949328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76709498-0.76706047) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dl = 219.863209999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76709498-0.76706047) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dr = 219.863209999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02487925--0.02483131) × cos(0.76709498) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719929924284843 × 6371000     		do = 219.885129872841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02487925--0.02483131) × cos(0.76706047) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719953875409806 × 6371000     		du = 219.892445162907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76709498)-sin(0.76706047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719929924284843-0.719953875409806)×R²
    abs(-0.02483131--0.02487925)×2.39511249625624e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39511249625624e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39511249625624e-05×40589641000000     		ar = 48345.4546713942m²