Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65016 / 47688
↖ ↑ ↗
← N 43.945372°
W  1.428223°		 ← 219.91 m → N 43.945372°
W  1.425476°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
N 43.943395°
W  1.428223°		 ← 219.91 m →
48 364 m²		 N 43.943395°
W  1.425476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496036529541016 y=0.363834381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496036529541016 × 217)
    floor (0.496036529541016 × 131072)
    floor (65016.5)     		tx = 65016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363834381103516 × 217)
    floor (0.363834381103516 × 131072)
    floor (47688.5)     		ty = 47688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65016 / 47688 ti = "17/65016/47688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65016/47688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65016 ÷ 217
    65016 ÷ 131072     		x = 0.49603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47688 ÷ 217
    47688 ÷ 131072     		y = 0.36383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36383056640625 × 2 - 1) × π
    0.2723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.855577784418762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02492719} λ = -0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855577784418762))-π/2
    2×atan(2.35273336061561)-π/2
    2×1.16889388302021-π/2
    2.33778776604042-1.57079632675     		φ = 0.76699144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76699144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.945372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65016 KachelY 47688 -0.02492719 0.76699144 -1.428223 43.945372
    Oben rechts KachelX + 1 65017 KachelY 47688 -0.02487925 0.76699144 -1.425476 43.945372
    Unten links KachelX 65016 KachelY + 1 47689 -0.02492719 0.76695692 -1.428223 43.943395
    Unten rechts KachelX + 1 65017 KachelY + 1 47689 -0.02487925 0.76695692 -1.425476 43.943395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76699144-0.76695692) × R
    3.45199999999268e-05 × 6371000     		dl = 219.926919999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76699144-0.76695692) × R
    3.45199999999268e-05 × 6371000     		dr = 219.926919999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02492719--0.02487925) × cos(0.76699144) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.720001782027159 × 6371000     		do = 219.907077076963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02492719--0.02487925) × cos(0.76695692) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.720025737518995 × 6371000     		du = 219.914393700784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76699144)-sin(0.76695692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720001782027159-0.720025737518995)×R²
    abs(-0.02487925--0.02492719)×2.39554918363138e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39554918363138e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39554918363138e-05×40589641000000     		ar = 48364.2907137866m²