Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65015 / 47686
↖ ↑ ↗
← N 43.949328°
W  1.430969°		 ← 219.85 m → N 43.949328°
W  1.428223°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
N 43.947350°
W  1.430969°		 ← 219.85 m →
48 351 m²		 N 43.947350°
W  1.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496028900146484 y=0.363819122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496028900146484 × 217)
    floor (0.496028900146484 × 131072)
    floor (65015.5)     		tx = 65015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363819122314453 × 217)
    floor (0.363819122314453 × 131072)
    floor (47686.5)     		ty = 47686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65015 / 47686 ti = "17/65015/47686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65015/47686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65015 ÷ 217
    65015 ÷ 131072     		x = 0.496025085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47686 ÷ 217
    47686 ÷ 131072     		y = 0.363815307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496025085449219 × 2 - 1) × π
    -0.0079498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02497512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363815307617188 × 2 - 1) × π
    0.272369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.855673658218002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02497512} λ = -0.02497512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855673658218002))-π/2
    2×atan(2.35295893691475)-π/2
    2×1.16892839652519-π/2
    2.33785679305038-1.57079632675     		φ = 0.76706047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02497512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.430969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76706047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.949328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65015 KachelY 47686 -0.02497512 0.76706047 -1.430969 43.949328
    Oben rechts KachelX + 1 65016 KachelY 47686 -0.02492719 0.76706047 -1.428223 43.949328
    Unten links KachelX 65015 KachelY + 1 47687 -0.02497512 0.76702595 -1.430969 43.947350
    Unten rechts KachelX + 1 65016 KachelY + 1 47687 -0.02492719 0.76702595 -1.428223 43.947350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76706047-0.76702595) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dl = 219.926920000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76706047-0.76702595) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dr = 219.926920000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02497512--0.02492719) × cos(0.76706047) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719953875409806 × 6371000     		do = 219.846576901513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02497512--0.02492719) × cos(0.76702595) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719977832617317 × 6371000     		du = 219.853892523031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76706047)-sin(0.76702595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719953875409806-0.719977832617317)×R²
    abs(-0.02492719--0.02497512)×2.39572075113603e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39572075113603e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39572075113603e-05×40589641000000     		ar = 48350.9849865005m²