Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65013 / 47661
↖ ↑ ↗
← N 43.998742°
W  1.436462°		 ← 219.71 m → N 43.998742°
W  1.433716°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
N 43.996766°
W  1.436462°		 ← 219.72 m →
48 279 m²		 N 43.996766°
W  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496013641357422 y=0.363628387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496013641357422 × 217)
    floor (0.496013641357422 × 131072)
    floor (65013.5)     		tx = 65013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363628387451172 × 217)
    floor (0.363628387451172 × 131072)
    floor (47661.5)     		ty = 47661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65013 / 47661 ti = "17/65013/47661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65013/47661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65013 ÷ 217
    65013 ÷ 131072     		x = 0.496009826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47661 ÷ 217
    47661 ÷ 131072     		y = 0.363624572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496009826660156 × 2 - 1) × π
    -0.0079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02507100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363624572753906 × 2 - 1) × π
    0.272750854492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.856872080708504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02507100} λ = -0.02507100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856872080708504))-π/2
    2×atan(2.35578046617835)-π/2
    2×1.16935962157488-π/2
    2.33871924314976-1.57079632675     		φ = 0.76792292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02507100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.436462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76792292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.998742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65013 KachelY 47661 -0.02507100 0.76792292 -1.436462 43.998742
    Oben rechts KachelX + 1 65014 KachelY 47661 -0.02502306 0.76792292 -1.433716 43.998742
    Unten links KachelX 65013 KachelY + 1 47662 -0.02507100 0.76788843 -1.436462 43.996766
    Unten rechts KachelX + 1 65014 KachelY + 1 47662 -0.02502306 0.76788843 -1.433716 43.996766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76792292-0.76788843) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76792292-0.76788843) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02507100--0.02502306) × cos(0.76792292) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719355048526144 × 6371000     		do = 219.709548018832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02507100--0.02502306) × cos(0.76788843) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.719379006320871 × 6371000     		du = 219.716865346016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76792292)-sin(0.76788843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719355048526144-0.719379006320871)×R²
    abs(-0.02502306--0.02507100)×2.39577947267477e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39577947267477e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39577947267477e-05×40589641000000     		ar = 48278.8550485228m²