Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65009 / 44845
↖ ↑ ↗
← N 49.301845°
W  1.447449°		 ← 199.16 m → N 49.301845°
W  1.444702°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
N 49.300054°
W  1.447449°		 ← 199.17 m →
39 665 m²		 N 49.300054°
W  1.444702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495983123779297 y=0.342144012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495983123779297 × 217)
    floor (0.495983123779297 × 131072)
    floor (65009.5)     		tx = 65009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342144012451172 × 217)
    floor (0.342144012451172 × 131072)
    floor (44845.5)     		ty = 44845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65009 / 44845 ti = "17/65009/44845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65009/44845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65009 ÷ 217
    65009 ÷ 131072     		x = 0.495979309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44845 ÷ 217
    44845 ÷ 131072     		y = 0.342140197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495979309082031 × 2 - 1) × π
    -0.0080413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02526275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342140197753906 × 2 - 1) × π
    0.315719604492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.991862390038582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02526275} λ = -0.02526275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991862390038582))-π/2
    2×atan(2.69625127078971)-π/2
    2×1.21563792309378-π/2
    2.43127584618756-1.57079632675     		φ = 0.86047952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02526275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.447449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86047952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.301845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65009 KachelY 44845 -0.02526275 0.86047952 -1.447449 49.301845
    Oben rechts KachelX + 1 65010 KachelY 44845 -0.02521481 0.86047952 -1.444702 49.301845
    Unten links KachelX 65009 KachelY + 1 44846 -0.02526275 0.86044826 -1.447449 49.300054
    Unten rechts KachelX + 1 65010 KachelY + 1 44846 -0.02521481 0.86044826 -1.444702 49.300054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86047952-0.86044826) × R
    3.12600000000884e-05 × 6371000     		dl = 199.157460000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86047952-0.86044826) × R
    3.12600000000884e-05 × 6371000     		dr = 199.157460000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02526275--0.02521481) × cos(0.86047952) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.652073992501671 × 6371000     		do = 199.160181694576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02526275--0.02521481) × cos(0.86044826) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.652097692118763 × 6371000     		du = 199.167420167665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86047952)-sin(0.86044826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652073992501671-0.652097692118763)×R²
    abs(-0.02521481--0.02526275)×2.36996170929205e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36996170929205e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36996170929205e-05×40589641000000     		ar = 39664.956720683m²