Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65008 / 47600
↖ ↑ ↗
← N 44.119141°
W  1.450195°		 ← 219.22 m → N 44.119141°
W  1.447449°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
N 44.117170°
W  1.450195°		 ← 219.22 m →
48 059 m²		 N 44.117170°
W  1.447449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495975494384766 y=0.363162994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495975494384766 × 217)
    floor (0.495975494384766 × 131072)
    floor (65008.5)     		tx = 65008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363162994384766 × 217)
    floor (0.363162994384766 × 131072)
    floor (47600.5)     		ty = 47600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65008 / 47600 ti = "17/65008/47600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65008/47600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65008 ÷ 217
    65008 ÷ 131072     		x = 0.4959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47600 ÷ 217
    47600 ÷ 131072     		y = 0.3631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3631591796875 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02531068} λ = -0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859796231585327))-π/2
    2×atan(2.36267920525536)-π/2
    2×1.17041030469621-π/2
    2.34082060939241-1.57079632675     		φ = 0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65008 KachelY 47600 -0.02531068 0.77002428 -1.450195 44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 65009 KachelY 47600 -0.02526275 0.77002428 -1.447449 44.119141
    Unten links KachelX 65008 KachelY + 1 47601 -0.02531068 0.76998987 -1.450195 44.117170
    Unten rechts KachelX + 1 65009 KachelY + 1 47601 -0.02526275 0.76998987 -1.447449 44.117170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77002428-0.76998987) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dl = 219.226110000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77002428-0.76998987) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dr = 219.226110000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02531068--0.02526275) × cos(0.77002428) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 219.217498087445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02531068--0.02526275) × cos(0.76998987) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.717917721424076 × 6371000     		du = 219.224812787022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77002428)-sin(0.76998987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.717917721424076)×R²
    abs(-0.02526275--0.02531068)×2.395418833534e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.395418833534e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.395418833534e-05×40589641000000     		ar = 48059.0011411208m²