Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64990 / 45194
↖ ↑ ↗
← N 48.672827°
W  1.499634°		 ← 201.69 m → N 48.672827°
W  1.496887°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 48.671013°
W  1.499634°		 ← 201.70 m →
40 683 m²		 N 48.671013°
W  1.496887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495838165283203 y=0.344806671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495838165283203 × 217)
    floor (0.495838165283203 × 131072)
    floor (64990.5)     		tx = 64990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344806671142578 × 217)
    floor (0.344806671142578 × 131072)
    floor (45194.5)     		ty = 45194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64990 / 45194 ti = "17/64990/45194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64990/45194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64990 ÷ 217
    64990 ÷ 131072     		x = 0.495834350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45194 ÷ 217
    45194 ÷ 131072     		y = 0.344802856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495834350585938 × 2 - 1) × π
    -0.008331298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02617355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344802856445312 × 2 - 1) × π
    0.310394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.975132412071182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02617355} λ = -0.02617355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975132412071182))-π/2
    2×atan(2.65151828076649)-π/2
    2×1.2101487017153-π/2
    2.42029740343061-1.57079632675     		φ = 0.84950108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02617355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.499634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84950108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.672827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64990 KachelY 45194 -0.02617355 0.84950108 -1.499634 48.672827
    Oben rechts KachelX + 1 64991 KachelY 45194 -0.02612561 0.84950108 -1.496887 48.672827
    Unten links KachelX 64990 KachelY + 1 45195 -0.02617355 0.84946942 -1.499634 48.671013
    Unten rechts KachelX + 1 64991 KachelY + 1 45195 -0.02612561 0.84946942 -1.496887 48.671013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84950108-0.84946942) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84950108-0.84946942) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02617355--0.02612561) × cos(0.84950108) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.660357892547279 × 6371000     		do = 201.690297996092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02617355--0.02612561) × cos(0.84946942) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.660381667326018 × 6371000     		du = 201.697559425482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84950108)-sin(0.84946942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660357892547279-0.660381667326018)×R²
    abs(-0.02612561--0.02617355)×2.37747787396048e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37747787396048e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37747787396048e-05×40589641000000     		ar = 40682.8473508736m²