Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64984 / 44952
↖ ↑ ↗
← N 49.109838°
W  1.516113°		 ← 199.94 m → N 49.109838°
W  1.513367°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 49.108040°
W  1.516113°		 ← 199.94 m →
39 972 m²		 N 49.108040°
W  1.513367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495792388916016 y=0.342960357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495792388916016 × 217)
    floor (0.495792388916016 × 131072)
    floor (64984.5)     		tx = 64984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342960357666016 × 217)
    floor (0.342960357666016 × 131072)
    floor (44952.5)     		ty = 44952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64984 / 44952 ti = "17/64984/44952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64984/44952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64984 ÷ 217
    64984 ÷ 131072     		x = 0.49578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44952 ÷ 217
    44952 ÷ 131072     		y = 0.34295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02646117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34295654296875 × 2 - 1) × π
    0.3140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.986733141779236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02646117} λ = -0.02646117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986733141779236))-π/2
    2×atan(2.68245693617878)-π/2
    2×1.21396234567071-π/2
    2.42792469134142-1.57079632675     		φ = 0.85712836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02646117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85712836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.109838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64984 KachelY 44952 -0.02646117 0.85712836 -1.516113 49.109838
    Oben rechts KachelX + 1 64985 KachelY 44952 -0.02641323 0.85712836 -1.513367 49.109838
    Unten links KachelX 64984 KachelY + 1 44953 -0.02646117 0.85709698 -1.516113 49.108040
    Unten rechts KachelX + 1 64985 KachelY + 1 44953 -0.02641323 0.85709698 -1.513367 49.108040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85712836-0.85709698) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85712836-0.85709698) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02646117--0.02641323) × cos(0.85712836) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.654611026089344 × 6371000     		do = 199.935057055496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02646117--0.02641323) × cos(0.85709698) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.654634747976206 × 6371000     		du = 199.942302330345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85712836)-sin(0.85709698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654611026089344-0.654634747976206)×R²
    abs(-0.02641323--0.02646117)×2.37218868618383e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37218868618383e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37218868618383e-05×40589641000000     		ar = 39972.136725983m²