Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64978 / 45195
↖ ↑ ↗
← N 48.671013°
W  1.532593°		 ← 201.70 m → N 48.671013°
W  1.529846°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 48.669199°
W  1.532593°		 ← 201.70 m →
40 684 m²		 N 48.669199°
W  1.529846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495746612548828 y=0.344814300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495746612548828 × 217)
    floor (0.495746612548828 × 131072)
    floor (64978.5)     		tx = 64978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344814300537109 × 217)
    floor (0.344814300537109 × 131072)
    floor (45195.5)     		ty = 45195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64978 / 45195 ti = "17/64978/45195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64978/45195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64978 ÷ 217
    64978 ÷ 131072     		x = 0.495742797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45195 ÷ 217
    45195 ÷ 131072     		y = 0.344810485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495742797851562 × 2 - 1) × π
    -0.008514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02674879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344810485839844 × 2 - 1) × π
    0.310379028320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.975084475171562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02674879} λ = -0.02674879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975084475171562))-π/2
    2×atan(2.6513911782473)-π/2
    2×1.21013287367535-π/2
    2.42026574735071-1.57079632675     		φ = 0.84946942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02674879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.532593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84946942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.671013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64978 KachelY 45195 -0.02674879 0.84946942 -1.532593 48.671013
    Oben rechts KachelX + 1 64979 KachelY 45195 -0.02670085 0.84946942 -1.529846 48.671013
    Unten links KachelX 64978 KachelY + 1 45196 -0.02674879 0.84943776 -1.532593 48.669199
    Unten rechts KachelX + 1 64979 KachelY + 1 45196 -0.02670085 0.84943776 -1.529846 48.669199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84946942-0.84943776) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84946942-0.84943776) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02674879--0.02670085) × cos(0.84946942) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.660381667326018 × 6371000     		do = 201.697559425482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02674879--0.02670085) × cos(0.84943776) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.660405441442821 × 6371000     		du = 201.704820652699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84946942)-sin(0.84943776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660381667326018-0.660405441442821)×R²
    abs(-0.02670085--0.02674879)×2.3774116802322e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3774116802322e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3774116802322e-05×40589641000000     		ar = 40684.3120031235m²