Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64975 / 44913
↖ ↑ ↗
← N 49.179908°
W  1.540832°		 ← 199.65 m → N 49.179908°
W  1.538086°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 49.178112°
W  1.540832°		 ← 199.66 m →
39 865 m²		 N 49.178112°
W  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495723724365234 y=0.342662811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495723724365234 × 217)
    floor (0.495723724365234 × 131072)
    floor (64975.5)     		tx = 64975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342662811279297 × 217)
    floor (0.342662811279297 × 131072)
    floor (44913.5)     		ty = 44913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64975 / 44913 ti = "17/64975/44913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64975/44913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64975 ÷ 217
    64975 ÷ 131072     		x = 0.495719909667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44913 ÷ 217
    44913 ÷ 131072     		y = 0.342658996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495719909667969 × 2 - 1) × π
    -0.0085601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02689260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342658996582031 × 2 - 1) × π
    0.314682006835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.988602680864418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02689260} λ = -0.02689260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988602680864418))-π/2
    2×atan(2.68747658501809)-π/2
    2×1.2145738237592-π/2
    2.4291476475184-1.57079632675     		φ = 0.85835132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02689260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.540832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85835132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.179908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64975 KachelY 44913 -0.02689260 0.85835132 -1.540832 49.179908
    Oben rechts KachelX + 1 64976 KachelY 44913 -0.02684466 0.85835132 -1.538086 49.179908
    Unten links KachelX 64975 KachelY + 1 44914 -0.02689260 0.85831998 -1.540832 49.178112
    Unten rechts KachelX + 1 64976 KachelY + 1 44914 -0.02684466 0.85831998 -1.538086 49.178112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85835132-0.85831998) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dl = 199.667140000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85835132-0.85831998) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dr = 199.667140000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02689260--0.02684466) × cos(0.85835132) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.653686020764757 × 6371000     		do = 199.65253661973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02689260--0.02684466) × cos(0.85831998) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.653709737486184 × 6371000     		du = 199.659780316922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85835132)-sin(0.85831998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653686020764757-0.653709737486184)×R²
    abs(-0.02684466--0.02689260)×2.37167214263145e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37167214263145e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37167214263145e-05×40589641000000     		ar = 39864.7741479724m²