Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64974 / 44759
↖ ↑ ↗
← N 49.455628°
W  1.543579°		 ← 198.54 m → N 49.455628°
W  1.540832°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
N 49.453843°
W  1.543579°		 ← 198.55 m →
39 415 m²		 N 49.453843°
W  1.540832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495716094970703 y=0.341487884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495716094970703 × 217)
    floor (0.495716094970703 × 131072)
    floor (64974.5)     		tx = 64974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341487884521484 × 217)
    floor (0.341487884521484 × 131072)
    floor (44759.5)     		ty = 44759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64974 / 44759 ti = "17/64974/44759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64974/44759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64974 ÷ 217
    64974 ÷ 131072     		x = 0.495712280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44759 ÷ 217
    44759 ÷ 131072     		y = 0.341484069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495712280273438 × 2 - 1) × π
    -0.008575439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02694054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341484069824219 × 2 - 1) × π
    0.317031860351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.995984963405907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02694054} λ = -0.02694054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995984963405907))-π/2
    2×atan(2.70738970820764)-π/2
    2×1.216979934562-π/2
    2.433959869124-1.57079632675     		φ = 0.86316354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02694054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.543579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86316354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.455628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64974 KachelY 44759 -0.02694054 0.86316354 -1.543579 49.455628
    Oben rechts KachelX + 1 64975 KachelY 44759 -0.02689260 0.86316354 -1.540832 49.455628
    Unten links KachelX 64974 KachelY + 1 44760 -0.02694054 0.86313238 -1.543579 49.453843
    Unten rechts KachelX + 1 64975 KachelY + 1 44760 -0.02689260 0.86313238 -1.540832 49.453843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86316354-0.86313238) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dl = 198.520359999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86316354-0.86313238) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dr = 198.520359999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02694054--0.02689260) × cos(0.86316354) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650036742112012 × 6371000     		do = 198.537952986749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02694054--0.02689260) × cos(0.86313238) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650060420367034 × 6371000     		du = 198.545184935311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86316354)-sin(0.86313238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650036742112012-0.650060420367034)×R²
    abs(-0.02689260--0.02694054)×2.36782550222525e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36782550222525e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36782550222525e-05×40589641000000     		ar = 39414.5437482398m²