Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64968 / 44888
↖ ↑ ↗
← N 49.224773°
W  1.560059°		 ← 199.47 m → N 49.224773°
W  1.557312°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 49.222979°
W  1.560059°		 ← 199.48 m →
39 790 m²		 N 49.222979°
W  1.557312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495670318603516 y=0.342472076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495670318603516 × 217)
    floor (0.495670318603516 × 131072)
    floor (64968.5)     		tx = 64968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342472076416016 × 217)
    floor (0.342472076416016 × 131072)
    floor (44888.5)     		ty = 44888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64968 / 44888 ti = "17/64968/44888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64968/44888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64968 ÷ 217
    64968 ÷ 131072     		x = 0.49566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44888 ÷ 217
    44888 ÷ 131072     		y = 0.34246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02722816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34246826171875 × 2 - 1) × π
    0.3150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989801103354919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02722816} λ = -0.02722816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989801103354919))-π/2
    2×atan(2.69069924807051)-π/2
    2×1.21496534216754-π/2
    2.42993068433508-1.57079632675     		φ = 0.85913436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02722816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.560059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85913436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.224773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64968 KachelY 44888 -0.02722816 0.85913436 -1.560059 49.224773
    Oben rechts KachelX + 1 64969 KachelY 44888 -0.02718022 0.85913436 -1.557312 49.224773
    Unten links KachelX 64968 KachelY + 1 44889 -0.02722816 0.85910305 -1.560059 49.222979
    Unten rechts KachelX + 1 64969 KachelY + 1 44889 -0.02718022 0.85910305 -1.557312 49.222979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85913436-0.85910305) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85913436-0.85910305) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02722816--0.02718022) × cos(0.85913436) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.653093242471947 × 6371000     		do = 199.471486870993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02722816--0.02718022) × cos(0.85910305) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.653116952510445 × 6371000     		du = 199.478728527047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85913436)-sin(0.85910305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653093242471947-0.653116952510445)×R²
    abs(-0.02718022--0.02722816)×2.37100384979927e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37100384979927e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37100384979927e-05×40589641000000     		ar = 39790.498581407m²