Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64967 / 45106
↖ ↑ ↗
← N 48.832182°
W  1.562805°		 ← 201.05 m → N 48.832182°
W  1.560059°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 48.830373°
W  1.562805°		 ← 201.06 m →
40 426 m²		 N 48.830373°
W  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495662689208984 y=0.344135284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495662689208984 × 217)
    floor (0.495662689208984 × 131072)
    floor (64967.5)     		tx = 64967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344135284423828 × 217)
    floor (0.344135284423828 × 131072)
    floor (45106.5)     		ty = 45106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64967 / 45106 ti = "17/64967/45106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64967/45106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64967 ÷ 217
    64967 ÷ 131072     		x = 0.495658874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45106 ÷ 217
    45106 ÷ 131072     		y = 0.344131469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495658874511719 × 2 - 1) × π
    -0.0086822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02727610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344131469726562 × 2 - 1) × π
    0.311737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.979350859237747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02727610} λ = -0.02727610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979350859237747))-π/2
    2×atan(2.66272719603134)-π/2
    2×1.21153933853839-π/2
    2.42307867707679-1.57079632675     		φ = 0.85228235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02727610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.562805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85228235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.832182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64967 KachelY 45106 -0.02727610 0.85228235 -1.562805 48.832182
    Oben rechts KachelX + 1 64968 KachelY 45106 -0.02722816 0.85228235 -1.560059 48.832182
    Unten links KachelX 64967 KachelY + 1 45107 -0.02727610 0.85225079 -1.562805 48.830373
    Unten rechts KachelX + 1 64968 KachelY + 1 45107 -0.02722816 0.85225079 -1.560059 48.830373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85228235-0.85225079) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dl = 201.068759999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85228235-0.85225079) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dr = 201.068759999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02727610--0.02722816) × cos(0.85228235) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.658266743575518 × 6371000     		do = 201.051607273942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02727610--0.02722816) × cos(0.85225079) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.6582905011347 × 6371000     		du = 201.058863444036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85228235)-sin(0.85225079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658266743575518-0.6582905011347)×R²
    abs(-0.02722816--0.02727610)×2.3757559181381e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3757559181381e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3757559181381e-05×40589641000000     		ar = 40425.9268684452m²