Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64967 / 44873
↖ ↑ ↗
← N 49.251672°
W  1.562805°		 ← 199.36 m → N 49.251672°
W  1.560059°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
N 49.249879°
W  1.562805°		 ← 199.37 m →
39 743 m²		 N 49.249879°
W  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495662689208984 y=0.342357635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495662689208984 × 217)
    floor (0.495662689208984 × 131072)
    floor (64967.5)     		tx = 64967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342357635498047 × 217)
    floor (0.342357635498047 × 131072)
    floor (44873.5)     		ty = 44873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64967 / 44873 ti = "17/64967/44873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64967/44873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64967 ÷ 217
    64967 ÷ 131072     		x = 0.495658874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44873 ÷ 217
    44873 ÷ 131072     		y = 0.342353820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495658874511719 × 2 - 1) × π
    -0.0086822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02727610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342353820800781 × 2 - 1) × π
    0.315292358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.99052015684922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02727610} λ = -0.02727610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99052015684922))-π/2
    2×atan(2.69263470053048)-π/2
    2×1.21520008273201-π/2
    2.43040016546403-1.57079632675     		φ = 0.85960384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02727610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.562805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85960384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.251672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64967 KachelY 44873 -0.02727610 0.85960384 -1.562805 49.251672
    Oben rechts KachelX + 1 64968 KachelY 44873 -0.02722816 0.85960384 -1.560059 49.251672
    Unten links KachelX 64967 KachelY + 1 44874 -0.02727610 0.85957255 -1.562805 49.249879
    Unten rechts KachelX + 1 64968 KachelY + 1 44874 -0.02722816 0.85957255 -1.560059 49.249879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85960384-0.85957255) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dl = 199.348590000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85960384-0.85957255) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dr = 199.348590000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02727610--0.02722816) × cos(0.85960384) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.652737643868252 × 6371000     		do = 199.362877904317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02727610--0.02722816) × cos(0.85957255) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.65276134835313 × 6371000     		du = 199.370117864152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85960384)-sin(0.85957255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652737643868252-0.65276134835313)×R²
    abs(-0.02722816--0.02727610)×2.37044848778734e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37044848778734e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37044848778734e-05×40589641000000     		ar = 39743.4302495612m²