Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64959 / 45129
↖ ↑ ↗
← N 48.790581°
W  1.584778°		 ← 201.22 m → N 48.790581°
W  1.582031°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
N 48.788771°
W  1.584778°		 ← 201.23 m →
40 485 m²		 N 48.788771°
W  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495601654052734 y=0.344310760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495601654052734 × 217)
    floor (0.495601654052734 × 131072)
    floor (64959.5)     		tx = 64959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344310760498047 × 217)
    floor (0.344310760498047 × 131072)
    floor (45129.5)     		ty = 45129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64959 / 45129 ti = "17/64959/45129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64959/45129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64959 ÷ 217
    64959 ÷ 131072     		x = 0.495597839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45129 ÷ 217
    45129 ÷ 131072     		y = 0.344306945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495597839355469 × 2 - 1) × π
    -0.0088043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02765959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344306945800781 × 2 - 1) × π
    0.311386108398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.978248310546486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02765959} λ = -0.02765959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978248310546486))-π/2
    2×atan(2.65979302747526)-π/2
    2×1.2111763023662-π/2
    2.42235260473239-1.57079632675     		φ = 0.85155628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02765959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.584778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85155628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.790581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64959 KachelY 45129 -0.02765959 0.85155628 -1.584778 48.790581
    Oben rechts KachelX + 1 64960 KachelY 45129 -0.02761165 0.85155628 -1.582031 48.790581
    Unten links KachelX 64959 KachelY + 1 45130 -0.02765959 0.85152470 -1.584778 48.788771
    Unten rechts KachelX + 1 64960 KachelY + 1 45130 -0.02761165 0.85152470 -1.582031 48.788771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85155628-0.85152470) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85155628-0.85152470) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02765959--0.02761165) × cos(0.85155628) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.658813144446157 × 6371000     		do = 201.218492164193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02765959--0.02761165) × cos(0.85152470) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.658836901960491 × 6371000     		du = 201.22574832059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85155628)-sin(0.85152470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658813144446157-0.658836901960491)×R²
    abs(-0.02761165--0.02765959)×2.3757514334144e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3757514334144e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3757514334144e-05×40589641000000     		ar = 40485.1219277926m²