Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64949 / 45151
↖ ↑ ↗
← N 48.750756°
W  1.612244°		 ← 201.38 m → N 48.750756°
W  1.609497°		 →
↑
201.39 m
↓
↑
201.39 m
↓
N 48.748945°
W  1.612244°		 ← 201.39 m →
40 556 m²		 N 48.748945°
W  1.609497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495525360107422 y=0.344478607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495525360107422 × 217)
    floor (0.495525360107422 × 131072)
    floor (64949.5)     		tx = 64949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344478607177734 × 217)
    floor (0.344478607177734 × 131072)
    floor (45151.5)     		ty = 45151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64949 / 45151 ti = "17/64949/45151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64949/45151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64949 ÷ 217
    64949 ÷ 131072     		x = 0.495521545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45151 ÷ 217
    45151 ÷ 131072     		y = 0.344474792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495521545410156 × 2 - 1) × π
    -0.0089569091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02813896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344474792480469 × 2 - 1) × π
    0.311050415039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.977193698754845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02813896} λ = -0.02813896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977193698754845))-π/2
    2×atan(2.65698945698425)-π/2
    2×1.21082876849107-π/2
    2.42165753698213-1.57079632675     		φ = 0.85086121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02813896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.612244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85086121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.750756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64949 KachelY 45151 -0.02813896 0.85086121 -1.612244 48.750756
    Oben rechts KachelX + 1 64950 KachelY 45151 -0.02809102 0.85086121 -1.609497 48.750756
    Unten links KachelX 64949 KachelY + 1 45152 -0.02813896 0.85082960 -1.612244 48.748945
    Unten rechts KachelX + 1 64950 KachelY + 1 45152 -0.02809102 0.85082960 -1.609497 48.748945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85086121-0.85082960) × R
    3.16100000000707e-05 × 6371000     		dl = 201.387310000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85086121-0.85082960) × R
    3.16100000000707e-05 × 6371000     		dr = 201.387310000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02813896--0.02809102) × cos(0.85086121) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.659335891018237 × 6371000     		do = 201.378152422803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02813896--0.02809102) × cos(0.85082960) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.65935965662025 × 6371000     		du = 201.385411049385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85086121)-sin(0.85082960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659335891018237-0.65935965662025)×R²
    abs(-0.02809102--0.02813896)×2.37656020128929e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37656020128929e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37656020128929e-05×40589641000000     		ar = 40555.7353103605m²