Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64947 / 45087
↖ ↑ ↗
← N 48.866521°
W  1.617737°		 ← 200.87 m → N 48.866521°
W  1.614990°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
N 48.864715°
W  1.617737°		 ← 200.88 m →
40 351 m²		 N 48.864715°
W  1.614990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495510101318359 y=0.343990325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495510101318359 × 217)
    floor (0.495510101318359 × 131072)
    floor (64947.5)     		tx = 64947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343990325927734 × 217)
    floor (0.343990325927734 × 131072)
    floor (45087.5)     		ty = 45087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64947 / 45087 ti = "17/64947/45087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64947/45087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64947 ÷ 217
    64947 ÷ 131072     		x = 0.495506286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45087 ÷ 217
    45087 ÷ 131072     		y = 0.343986511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495506286621094 × 2 - 1) × π
    -0.0089874267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02823483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343986511230469 × 2 - 1) × π
    0.312026977539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.980261660330528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02823483} λ = -0.02823483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980261660330528))-π/2
    2×atan(2.66515351565082)-π/2
    2×1.21183901081008-π/2
    2.42367802162015-1.57079632675     		φ = 0.85288169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02823483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.617737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85288169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.866521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64947 KachelY 45087 -0.02823483 0.85288169 -1.617737 48.866521
    Oben rechts KachelX + 1 64948 KachelY 45087 -0.02818690 0.85288169 -1.614990 48.866521
    Unten links KachelX 64947 KachelY + 1 45088 -0.02823483 0.85285016 -1.617737 48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 64948 KachelY + 1 45088 -0.02818690 0.85285016 -1.614990 48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85288169-0.85285016) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85288169-0.85285016) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02823483--0.02818690) × cos(0.85288169) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.657815451357224 × 6371000     		do = 200.8718615918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02823483--0.02818690) × cos(0.85285016) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 200.879113149618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85288169)-sin(0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657815451357224-0.657839198768838)×R²
    abs(-0.02818690--0.02823483)×2.37474116141501e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.37474116141501e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.37474116141501e-05×40589641000000     		ar = 40351.3918314653m²