Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64945 / 45069
↖ ↑ ↗
← N 48.899033°
W  1.623230°		 ← 200.78 m → N 48.899033°
W  1.620483°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 48.897227°
W  1.623230°		 ← 200.79 m →
40 321 m²		 N 48.897227°
W  1.620483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495494842529297 y=0.343852996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495494842529297 × 217)
    floor (0.495494842529297 × 131072)
    floor (64945.5)     		tx = 64945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343852996826172 × 217)
    floor (0.343852996826172 × 131072)
    floor (45069.5)     		ty = 45069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64945 / 45069 ti = "17/64945/45069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64945/45069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64945 ÷ 217
    64945 ÷ 131072     		x = 0.495491027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45069 ÷ 217
    45069 ÷ 131072     		y = 0.343849182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495491027832031 × 2 - 1) × π
    -0.0090179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02833071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343849182128906 × 2 - 1) × π
    0.312301635742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.981124524523689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02833071} λ = -0.02833071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.981124524523689))-π/2
    2×atan(2.6674541736237)-π/2
    2×1.21212272129214-π/2
    2.42424544258428-1.57079632675     		φ = 0.85344912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02833071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.623230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85344912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.899033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64945 KachelY 45069 -0.02833071 0.85344912 -1.623230 48.899033
    Oben rechts KachelX + 1 64946 KachelY 45069 -0.02828277 0.85344912 -1.620483 48.899033
    Unten links KachelX 64945 KachelY + 1 45070 -0.02833071 0.85341760 -1.623230 48.897227
    Unten rechts KachelX + 1 64946 KachelY + 1 45070 -0.02828277 0.85341760 -1.620483 48.897227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85344912-0.85341760) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dl = 200.813919999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85344912-0.85341760) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dr = 200.813919999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02833071--0.02828277) × cos(0.85344912) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.657387969034432 × 6371000     		do = 200.783206909438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02833071--0.02828277) × cos(0.85341760) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.657411720676141 × 6371000     		du = 200.790461272183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85344912)-sin(0.85341760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657387969034432-0.657411720676141)×R²
    abs(-0.02828277--0.02833071)×2.37516417080919e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37516417080919e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37516417080919e-05×40589641000000     		ar = 40320.7912413527m²